2 Вычисление суммы функционального ряда

Пусть задан некоторый ряд слагаемых a₁(х)+a₂(х)+a₃(х)+...+a_n(x) и необходимо найти его сумму. Если слагаемые зависят от некоторого параметра Х и номера n, опреде­ляющего место этого слагаемого в ряде, то такой ряд называется функциональным.

Если слагаемые зависят только от номера, то такой ряд называется число­вым. Обычно функциональные и числовые ряды зада­ются в виде формулы общего члена ряда, которые по методам вычисления можно разбить на три типа:

Тип	Формулы общего члена ряда
I
II
III

где m,n,k - целые числа;

a,b,c,d - действительные числа.

1. Для вычисления члена ряда типа 1 наиболее удобно исполь­зовать рекур­рентные соотношения, т.е. последующий член ряда находить через предыдущий, что существенно сократит объем вычислительной работы, особенно при вы­числении факто­риалов. Вычисление последующего члена ряда можно представить в виде рекуррентной формулы: А[n+1]=A[n]*G(n,x), где G(n,x)=a_n+1/a_n .

При использовании рекуррентных формул необхо­димо определить начальное значение n, c которого выполняются рекуррентные соотно­шения, а, сле­довательно, этим определяются начальные значения (выражения для а и S).

2. Если формула общего члена ряда принадлежит типу II, то це­лесообразнее и эффективнее вычислять каждый член ряда по общей формуле. В за­дачах данного типа необходимо обратить внимание на определение начального значения n и началь­ное значение суммы.

3. Если формула общего члена ряда принадлежит типу III, то целесообразно вычисление текущего члена ряда представить как произведение двух или более со­множителей.

При вычислении ряда данного вида важным моментом является выбор начального значения С,a1,n,S.

3 Точные и приближенные методы решения линейных уравнений

3.1 Алгоритм отделения корней уравнения (аналитический метод)

Алгоритм отделения корней уравнения F(х)=0 должен предусматривать выполнение таких указаний:

1. Найти область определения уравнения - множество всех значений аргумента, при которых определены функции, составляющие уравнение.

2. Вычислить F'(х) и найти критические точки.

3. 3аписать интервалы монотонности.

4. Исследовать знак функции на концах интервалов монотонности.

5. Выписать отрезки изоляции корней.

6. Полученные отрезки изоляции корней сузить каким-либо методом.

При написании алгоритмов предполагается, что все указания алгоритма выполняются последовательно друг за другом в порядке их написания, если не оговорена иная последовательность.

Пример 1. Отделить корни уравнения F (х)=х -4х +2=0.

1.Х= (-, )

2.F'(х)=3х -8х; Зх -8х=0.

Критические точки: 0; .

3.Интервалы монотонности: (-; 0),(0; ),( ;+)

4.Исследование знака функции на концах интервалов

монотонности дает: lim F(x)= - , F(0) 2, F = - , lim F(х)= +

5.Отрезки изоляции корней: (-; 0),(0; ),( ;+)

6.Методом проб сузим полученные интервалы до единичной длины:

[-1; 0]

[0; 1]

[3; 4]

Таким образом, данное уравнение имеет три действительных корня, причем

-1< x < 0;

0< x < 1;

3< х < 4.

Левые концы отрезков изоляции корней можно принять за приближенные значения корней с недостатком, правые - с избытком.