1.5 Задачи

1) Номер автомашины

Прогуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифры числа были одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение:

Обозначим первую и вторую цифру искомого числа через a, а третью и четвертую - через b. Тогда 1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11(100a+b)

Искомое число делится на 11, так как число-точный квадрат, то оно делится и на 11².Значит 100a+b делится на 11. Используя признак делимости на 11 (если разбить испытуемое число на грани по два числа справа налево, то их сумма будет кратна 11)

Значит a+b делится на 11, так как a и b – однозначные числа, то a+b=11

Таким образом цифра b может принимать значения от 0 до 9, но так как искомое число является точным квадратом то для b подходят только значения 0, 1, 4, 5, 6, 9

для a подходят только значения 7, 6, 5, 2

Имеем:

b=4, a=7

b=5, a=6

b=6, a=5

b=9, a=2

Номер автомашины следует искать из чисел 7744, 6655, 5566, 2299

Последние три числа не являются точными квадратами, так как 6655 не делится на 25; 5566 делится на 2, но не делится на 4; 2299=121*19. Однако 7744: 44 делится на 4, значит и все число делится на 4.

7744=4*1936=4*4*484=2²*2²*22²=88²

Ответ:7744

2) Доплата

Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (в рублях)?

Решение

Стоимость стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за каждого. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное, а значит, и число десятков в n² так же нечетное.

Квадрат всякого числа из а десятков и b единиц равен: 100a²+20ab+b²=(10a²+2ab)*10+b²

10a²+2ab-четное число, так как делится на 2, поэтому b²-нечетное. Это квадрат цифры единиц, поэтому может принимать значения 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Среди них нечетное число десятков имеют числа 16 и 36.

Значит 100a²+20ab+b² будет оканчиваться на 6.

Теперь легко найти ответ на вопрос задачи. Ясно, что ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил, следовательно, на 4 рубля меньше. Чтобы уравнять долг, обладатель ягненка должен получить 2 рубля.

Ответ: доплата равна 2 рублям

Глава 2 Практическая часть

Опрос

Было проведено два опроса, в первом ученики решали примеры, опираясь на свои знания, во втором же случае им были объяснены некоторые приемы устного счета.

1 опрос:

32 х 111 =		947 х 1001 =
168:5 =		12100:25 =
582 =		36: 1,5 =
87 635 064-кратно ли 3/4/11/13/19/25/37		6 486 117-кратно ли это число 3/4/9/11/13/19/37
65 х 10101 =		√123456 =
√110889		1111 х 1111 =
111 х 111		645·11 =
69 х 37		1252 =

2 опрос:

99 х 1010101 =		1001 х 101 =
11111 х 11111 =		11111 х 1111 =
592 =		612 =
34 762 816 -кратно ли 3/4/9/11/13/19/25/37		583 447 117-кратно ли это число 3/4/9/11/13/19/37
577 х 11=		√731 025 =
√311 364 =		788 х 11 =
377 : 5 =		377 : 25 =
198 : 1,5 = Доп вопрос 288 : 0,25 =		288 : 1,5 = Доп вопрос 388 : 0,25 =

Оба опроса писали ученики 10 класса 7 мин.

Результаты

Вид	Правильные ответы (%) -1	Правильные ответы (%) -2
Деление на 1,5	70	65
Умножение на 101, 1001	0,64	83
Деление на 5, 25	0,92	81
Извлечение кв. корня	4	61
Умножение на 11, 111	84	74
Возведение числа в кв.	64	87
Умножение 111 х 111	72	91
Кратность На 3 На 4 На 9 На 11 На 13 На 19 На 25 На 37	44 60 38 8 28 32 58 24	70 87 70 70 52 52 75 48

По результатам сводной таблицы видно, что эффективность приемов устного значительна. Например, в опросе 1 только 4% учеников смогли извлечь квадратный корень из числа, а в опросе 2 – 61%.

Заключение

Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений. Приемы устного счета помогут значительно упростить решение тех или иных задач, сократить время решения. При этом освоение вычислительных навыков развивает память и помогает людям в различных сферах жизни.

В данной работе были описаны различные приемы устного счета и доказана их эффективность на основе проведенного опроса.

И свою работу мы хотим завершить словами Гёте: «Счет является, правда, низкой, но уже идеальной деятельностью человека, и с помощью него столь многое осуществляется в обыденной жизни»

1. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

2. Билл Хэндли  «Считайте в уме как компьютер»,  Минск, Попурри, 2009г.

3. Александр Наниев «Математика для всех», Владикавказ ,2008г.

Список литературы