2. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области функции :

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области, ограниченной линиями: , , , .

Решение. Здесь , .

1. Находим все критические точки:

Решением системы являются точки , , , . Ни одна из найденных точек не принадлежит области .

Рис. 12

2. Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков , , и (см. рис. 12).

а)

Участок –отрезок вертикальной прямой при (см. рис. 13). При функция является функцией одного переменного . Находим производную . Приравнивая ее к нулю , находим стационарную точку . Значение функции при равно: , а значение функции на концах отрезка : ,

.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно , а наибольшее , то есть , .

б)

Участок – дуга гиперболы при (см. рис. 14). При функция является функцией одного переменного . Находим производную . Приравнивая ее к нулю , находим , , из которых только одна точка принадлежит отрезку (см. рис. 14). Значение функции при равно: , а значение на правом конце отрезка равно .

Следовательно, наименьшее значение функции на участке равно , а наибольшее , то есть , .

в)

Участок – отрезок вертикальной прямой при (см. рис. 15). При функция является функцией одного переменного . Находим производную . Приравнивая ее к нулю: , находим точку , совпадающую с левым концом отрезка (см. рис. 15). Значение функции при равно: , а значение на правом конце отрезка , то есть при равно:

Следовательно, на отрезке наименьшее значение равно , а наибольшее , то есть , .

г)

Участок – отрезок горизонтальной прямой при (см. рис.16). При функция является функцией одного переменного . Находим производную . Приравнивая ее к нулю: находим точку , которая не принадлежит отрезку (см. рис. 16). Значения функции на концах отрезка равны:

;

.

Следовательно, наименьшее значение на отрезке равно , а наибольшее , то есть , .

3. Сравнивая полученные результаты в пунктах а), б), в), г), имеем:

.

Замечание. Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину Р границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [4], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные канавы с сечением формы равнобочной трапеции ( АВ=CD, см. рис. 17).

Пример. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль канала трапецеидальной формы.

Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной площади S с наименьшим периметром . Пусть , , , , . Тогда

(1)

(2)

– прямоугольный

или , откуда

(3)

Подставив (3) в (1), получаем:

(4)

Так как , а , , находим:

(5)

Из : или , откуда . Подставив последнее равенство в (5), находим . Тогда равенство (2) запишется: , откуда . Подставив последнее равенство в (3), находим .

Таким образом, требуется найти такую точку из области , в которой функция принимает наименьшее значение.

Найдя частные производные функции и приравняв их к нулю, получим систему уравнений:

или

Откуда или , тогда .

В рассматриваемой области функция имеет единственную критическую точку , значение функции в ней равно P= .

Исследуем функцию на границе области :

1) , . Имеем . Тогда

= .

2) При приближении точки к прямым и , а также при удалении в бесконечность по функция неограниченно возрастает. Поэтому точку можно окружить таким прямоугольником , что вне его и на его границе .

Отсюда следует, что – наименьшее значение функции в области , и оно же будет наименьшим значением этой функции в области .

Итак, функция имеет наименьшее значение при , .

Таким образом в трапеции : и .