Завдання для самостійної роботи

Перевірити чи є функція метрикою на множині .

1. . 2. .

3. .

4. , .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. Показати , що відображення , є стискуючим на відрізку і знайти його нерухому точку.

28.. Відображення переводить кожну точку пів прямої в Чи є воно стискуючим ? Чи має воно нерухому точку ?

29. Показати , що відображення

є стискуючим , і знайти його нерухому точку .

30. Показати , що відображення

є стискуючим , і знайти його нерухому точку .

31. ,

32. .

33. .

34. .

35.

.

36. , a(t) - неперервна функція на відрізку ,

.

37. , a(t), - неперервні функції на відрізку ,

.

38. Нехай - множина все можливих послідовностей натуральних чисел,

де - найменший індекс, при якому . Показати, що функція є метрикою.

39. Нехай - множина всіх послідовностей дійсних чисел,

- сумована послідовність. Показати, що функція є метрикою на .

40. Нехай - коло одиничного радіуса на площині з центром в

точці - довжина найкоротшої дуги, яка з’єднує точки кола і . Показати, що функція є метрикою.

41. Нехай - метрика на множині . Перевірити чи є

функція метрикою, якщо : а) ;

б) ; в) ;

г) ; д) .

42. Нехай - метрики на множині . Перевіри-

ти чи є функція , , метрикою.

43. Показати , що в принципі стискуючих відображень умову не можна замінити слабшою умовою .

44. Показати , що неперервна функція, визначена на відрізку , яка задовольняє нерівностям і , має єдину нерухому точку.

45. Показати , що відображення

є стискуючим , і знайти його нерухому точку

Практична робота №2 Нормовані простори

Нехай – лінійний простір над дійсними числами. Функція називається нормою на просторі , якщо вона задовольняє наступним умовам (аксіомам):

1)

2)

3)

4) ( аксіома трикутника ).

Лінійний простір , разом із заданою на ньому нормою, називається нормованим простором, а число - нормою елемента .

Кожний нормований простір стає метричним простором, якщо ввести в ньому відстань за формулою . Норма кожного елемента в цьому метричному просторі співпадає з відстанню елемента до нульового елемента простору, тобто .

Повний нормований простір називається банаховим простором .

Послідовність елементів нормованого простору називається фундаментальною, якщо для будь-якого числа існує такий номер , що для всіх і для будь-якого виконується нерівність

Послідовність елементів нормованого простору називається збіжною до елемента , якщо

Теорема. Послідовність елементів банахового простору є збіжною тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна .

Приклад 1. Перевірити чи є функція нормою на лінійному просторі .

Розв’язування. Перша аксіома норми має вигляд: .Оскільки степенева функція не приймає від’ємних значень, то задана нерівність завжди має місце.

Запишемо другу аксіому норми: .

Так як рівняння не має дійсних коренів, то друга аксіома норми не виконується. Тобто задана функція не є нормою на лінійному просторі .

Приклад 2. Перевірити чи є функція нормою на лінійному просторі .

Розв’язування. Для кожного елемента числа є невід’ємними, тому перша аксіома норми виконується.

Перевіримо другу аксіому норми

.

Маємо : , , тобто і . Аксіома виконується.

Оскільки

,

то третя аксіома норми справджується.

Аксіома трикутника має вигляд

.

Так як , то маємо :

.

Отже, задана функція є нормою на лінійному просторі .

Приклад 3. Перевірити чи є функція нормою на лінійному просторі .

Розв’язування. Виконання перших двох аксіом норми очевидне. Оскільки , то третя аксіома норми також виконується.

Покажемо, що аксіома трикутника виконується не для всіх елементів . Дійсно візьмемо елементи та . Тоді , причому . Обчислимо значення функції для елемента .Отримали .

Значить, функція не є нормою на лінійному просторі .

Приклад 4. Перевірити чи є функція нормою на лінійному просторі .

Розв’язування. Перша аксіома норми очевидно виконується. Перевіримо другу аксіому норми

.

Маємо :

.

Тобто друга аксіома норми виконується.

Так як

,

то третя аксіома норми також справджується.

Для довільних елементів і із простору аксіома трикутника має вигляд

.

Оскільки і внаслідок збіжності рядів і виконується нерівність , то аксіома трикутника виконується.

Отже, задана функція є нормою на просторі .

Приклад 5. Перевірити чи є функція нормою на лінійному просторі .

Розв’язування. Перша аксіома норми виконується для всіх функцій .

Покажемо, що друга аксіома норми не виконується. Візьмемо елемент . Очевидно, що , але , тому .

Отже, задана функція не є нормою на лінійному просторі .

Приклад 6. Перевірити чи є функція нормою на лінійному просторі .

Розв’язування. Оскільки , то перша аксіома норми справджується.

Друга аксіома норми має вигляд

.

Необхідність. Нехай . Тоді і . Значить, . Так як , то , тобто на відрізку .

Достатність. Якщо , то маємо: і на відрізку , тобто .

Третя аксіома норми очевидна.

Перевіримо виконання аксіоми трикутника :

Отже, задана функція є нормою на лінійному просторі .

Приклад 7. Нехай – дві норми на лінійному просторі . Перевірити чи є функція , нормою на .

Розв’язування. Покажемо, що в загальному випадку функція може бути нормою або не задовольняти аксіомам норми. Наприклад, якщо взяти функцію , то, як неважко переконатися, вона буде нормою на лінійному просторі . Тоді очевидно, що і функція є також нормою.

Якщо - норма на просторі , то функція задовольняє аксіомам норми. Але для функції не виконується перша аксіома норми, так як , . Отже, в цьому випадку функція не є нормою на лінійному просторі .

Приклад 8. Показати, що послідовність функцій є збіжною до функції в просторі

Розв’язування. Знаходимо:

Тоді маємо Значить, послідовність

функцій збігається до функції в просторі

Приклад 9. Навести приклад послідовності

що належить просторам і , яка є збіжною в , але не збігається в .

Розв’язування. Розглянемо послідовність елементів ,

. Кожний елемент послідовності має скінчену кількість відмінних від нуля координат, а тому належить як простору так і простору .

Візьмемо елемент Оскільки

,

то .Отже, в просторі послідовність збігається до елемента , тобто є збіжною.

Покажемо, що послідовність не є фундаментальною в просторі .Розглянемо елементи послідовності

,

і знайдемо норму елемента в просторі .Отримаємо :

Звідки випливає, що послідовність не є фундаментальною в просторі . Оскільки простір - банахів, то вона не збігається в цьому просторі.