4.3 Економіко-математичний аналіз рішення задачі

Процес розв’язання задачі ЛП – це багатофакторний ітеративний процес розрахунків для імітації і аналізу різних виробничих ситуацій. Ви-конання такого аналізу дозволяє отримати різні варіанти рішень, моде-лювати екстремальні ситуації, відповісти на питання: “Що буде, якщо…?” Остаточне рішення приймає керівник, який на основі аналізу варіантів плану вибирає один з них, враховуючи також і неформальні фактори.

Економіко-математичний аналіз можна провести у таких напрямках: аналіз рішення, варіантний аналіз, післяоптимізаційний аналіз.

Аналіз рішення дозволяє отримати і дослідити оптимальну програму випуску, основні техніко-економічні показники, обсяг ресурсів, резерв і дефіцит ресурсів, відхилення у випуску від планових завдань.

Варіантний аналіз полягає у розрахунку однієї й тієї ж задачі за умов зміни деяких параметрів з наступним порівнянням варіантів: при різних критеріях оптимізації; при варіюванні обмежень на ресурси; при включенні або вилученні різних видів продукції і т. і. Як цільову функцію можна прийняти; 1) критерії у вигляді техніко-економічних показників (обсяг прибутку, обсяг реалізованої продукції і т.і.); 2) критерії, які пов’язані із завантаженням обладнання; 3) компромісні критерії.

Післяоптимізаційний аналіз включає аналіз внутрішньої структури отриманих результатів і параметрування вхідних даних моделі (їх зміни на певну величину). При цьому використовують двоїсті оцінки і апарат дослідження на чутливість до зміни вхідних даних.

Він дозволяє визначити:

1) двоїсті оцінки дефіцитних видів ресурсів. Ці оцінки показують, наскільки підвищиться значення ЦФ, якщо прийнятий у розрахунках обсяг ресурсів буде збільшено на одиницю, дозволяє намітити заходи для розширення “вузьких місць” (якщо ресурс витрачається не повністю, його двоїста оцінка дорівнює нулю);

2) двоїсті оцінки продукції. Ці оцінки показують, наскільки зміниться значення ЦФ, якщо будуть змінені планові завдання на випуск продукції (наскільки умовна оцінка ресурсів, потрібних для виготовлення даного виду продукції, перевищує ціну цієї продукції (коефіцієнт ЦФ). При цьому для видів продукції , які увійшли в оптимальний план, тобто є базисними, двоїста оцінка дорівнює нулю, їх випуск не приносить збитків. У випадку, якщо значення змінної знаходиться на нижній межі, збільшення її на одиницю призведе до зменшення ЦФ на величину двоїстої оцінки; якщо значення змінної знаходиться на верхній межі, збільшення змінної на одиницю призведе до зростання ЦФ;

3) двоїсті оцінки норм витрат ресурсів на виготовлення одиниці продукції; ці оцінки показують, наскільки зміниться значення ЦФ, якщо норми витрат будуть змінені на одиницю;

4) межі змінення основних параметрів моделі, при яких отриманий оптимальний базис не змінюється; ці дані дозволяють визначити інтервал дії двоїстих оцінок, сформулювати вимоги до точності вхідних даних; визначити параметри, до зміни яких отримане оптимальне рішення найбільш чутливе.

Параметричний аналіз дозволяє визначити вплив зміни не одного, а багатьох параметрів, при цьому параметри змінюються у певному діапазоні з постійним значенням приросту.

Приклад 4.1

Завод выпускает два вида изделий. На заводе работают 700 неквалиф-цированных и 700 квалифицированных рабочих, каждому из которых оплачивают 40 часов труда в неделю. Изготовление продукции 1-го вида требует 40 часов неквалифицированного и 60 часов квалифицированного труда, про-дукции 2-го вида – 40 часов неквалифицированного и 30 часов квалифици-рованного труда.

Изделие 1-го вида требует затрат на сырье в размере 2000 грн, а 2-го вида 2500 грн. Суммарные затраты не должны превосходить 1,6 млн грн в неделю.

Рабочие, осуществляющие отгрузку продукции, работают по 5 дней в неделю и могут отгрузить не более 150 изделий в день.

Согласно оценкам спроса на продукцию завода, изделия 1-го вида необходимо выпускать в количестве не менее 250 ед., а 2-го вида - не менее 400 ед.

Изделие 1-го вида приносит 300 грн, 2-го вида 250 грн прибыли.

Какой объем выпуска каждого вида изделий Вы порекомендуете? Решение

Для решения задачи составим математическую модель.

Обозначим:

- планируемый объем выпуска изделий 1-го вида за неделю, ед.;

- планируемый объем выпуска изделий 2-го вида за неделю, ед.

Целевая функция задачи - максимум прибыли:

F =

Ограничения:

по затратам неквалифицированного труда

,

по затратам квалифицированного труда

по затратам на сырье

по отгрузке изделий покупателям

,

по выпуску изделий в соответствии со спросом

по неотрицательности переменных

.

Для решения задачи по готовой программе удобно составить вспомогательную таблицу вида

ЦФ, ограничения			Знак огранич.	Значение
Прибыль	300	250	Max	-
По затратам неквалиф. Труда	40	40		28000
По затратам квалиф. Труда	60	30		28000
По затратам на сырье	2000	2500		1600000
По отгрузке изделий	1	1		750
По выпуску изделий 1-го вида	1	0		250
По выпуску изделий 2-го вида	0	1		400
По неотрицательности перем.*/	1	0		0
По неотрицательности перем.*/	0	1		0

*/ Эти ограничения программа ЛП формирует автоматически.

Решение задачи на ПЭВМ по програмне линейного программирования (не в Excel) выдается в следующем виде:

** результаты **

переменные значение коэфф. коэфф.

цел. ф. чувс

x 1 249.99 300 0

x 2 433.33 250 0

номер свободный дополнит. двойственная

ограничения член переменная переменная

1 28000 666.66 0

2 28000 0 8.34

3 1600000 16666.66 0

4 750 66.66001 0

5 250 0 200

6 400 33.33 0

значение целевой функции: 183333.3

для продолжения работы нажмите <вк>

анализ оптимального решения

на чувствительность к изменениям

коэффициентов целевой функции

предел исходное предел

переменная нижний значение верхний

x 1 не огранич 300 500

x 2 150 250 не огранич.

для продолжения работы нажмите <вк>

независимых переменных

номер предел исходное предел

ограничения нижний значение верхний

1 27333.34 28000 не огрaнич.

2 27000 28000 28200

3 1583333 1600000 не огрaнич.

4 683.33 750 не огрaнич.

5 244.44 250 266.67

6 не огранич. 400 433.33

** конец анализа **

другие данные (1) или возврат в меню (2)

Итак, получено:

; ; F=183333,3 грн

Округляя результаты до целых чисел, получим

; ; F=183250 грн,

то есть при выпуске изделий 1-го вида в количестве 250 ед. и 2-го вида – 433 ед. предприятие получит прибыль 183250 грн.

Для ограничений получено:

номер свободный дополнит. двойственн.

ограничен. член переменная переменная

1 28000 666,66 0

2 28000 0 8,34

3 1600000 16666,66 0

4 750 66,66 0

5 250 0 200

6 400 33,33 0

Как видно, дефицитным является ресурс по затратам квалифицированного труда. Двойственная оценка для ресурса 8,34 показывает, что с увеличением граничного значения по ресурсу на 1 чел.- час можно ожидать прироста прибыли на 8,34 грн. Для остальных ограничений по ресурсам двойственные оценки равны нулю, т.к. по ним имеются излишки (дополнительные переменные не равны нулю).

Что касается искомых переменных, то изделия 1-го вида рекомендуется выпускать на уровне нижней границы. Увеличение выпуска на одно изделие будет уменьшать прибыль на 200 грн. Это обусловлено высокой нормой расхода квалифицированного труда на изготовление такого изделия, а на данном предприятии квалифицированных рабочих не хватает. Следовательно, необходимо повысить квалификацию части рабочих, тем более что неквалифицированных работников явно больше необходимой потребности (избыток – 666,66 чел.-час.).

Полагая, что число неквалифицированных рабочих составит 680 чел., а квалифицированных 720 чел., решим задачу в новых условиях. Получим:

; ; F=186 000 грн.

Как видно, результат (прибыль) увеличился на 1,5 %. В решении ненулевые оценки получены для первых двух ограничений – по трудозатратам, и предприятию необходимо решать кадровые вопросы.