6. Задание д10. Применение уравнения Лагранжа II рода для исследования колебаний механической системы с одной степенью свободы.

Составить дифференциальное уравнение малых колебаний механической системы, показанной на рис. Д10.1, около ее положения равновесия и найти период этих колебаний. Известны массы: m₁ груза А, m₂ стержня ОА, m₃ стержня ОВ и m₄ плоской фигуры (прямоугольника, круга, полукруга или треугольника). Жесткость пружины с (Н/м). Размеры: l₂ – длина стержня ОА, l₃ – длина стержня ОВ, d – длина участка OD (схемы 1, 2, 4, 5 и 6), также как и массы, приведены в таблице Д10-1.

Массами пружины и стержня ОВ (на схемах 2-9), а также размерами груза А пренебречь.

На схемах (рис. Д10.1) показано положение равновесия механической системы.

При малых отклонениях системы от положения равновесия можно считать, что пружина остается вертикальной (схемы 0, 1, 2, 5, 6, 7 и 9) или горизонтальной (схемы 3, 4 и 8).

Указания: 1. Номер схемы на рис. Д10.1 выбирается в соответствии с последней цифрой шифра (зачетной книжки).

2. Данные из табл. Д10-1 выбирать согласно предпоследней цифре шифра.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Рис. Д10.1

Таблица Д10-1

Предпоследняя цифра шифра	m1	m2	m3	m4	l2	l3	d	c, Н/м
	кг				м
0	3	2	5	5	0,5	0,40	0,15	1200
1	6	4	10	10	0,6	0,48	0,20	1800
2	9	6	15	15	0,7	0,56	0,23	2400
3	12	8	20	20	0,8	0,64	0,27	3000
4	15	10	25	25	0,9	0,72	0,30	3600
5	18	12	30	30	1,0	0,80	0,33	4200
6	21	14	35	35	1,1	0,88	0,36	4800
7	24	16	40	40	1,2	0,96	0,40	5400
8	27	18	45	45	1,3	1,04	0,43	6000
9	30	20	50	50	1,4	1,12	0,46	6600

Пример решения задания Д10.

Условие задачи в кратком виде:

Дано: m₁ = 40 кг; m₂ = 25 кг; m₄ = 60 кг; ОА = l₂ = 1,5 м; OD = d = 1,0 м; OB = 2a = = 1,2 м; с = 7000 Н/м; схема – на рис. Д10-2._________________________

Найти: 1) дифференциальное уравнение малых колебаний - ?

2) Т - ?

Рис. Д10.2

Рис. Д10.3

Решение.

На рис. Д10-2 показана механическая система в положении устойчивого равновесия.

Покажем систему в произвольном положении (рис. Д10-3). За обобщенную координату данной системы с одной степенью свободы принимаем угол φ отклонения стержня ОА от вертикали, отсчитываемый против направления движения часовой стрелки, т.е.

Обобщенная скорость , т.е. обобщенная скорость – угловая скорость вращения механической системы относительно оси Z (на рис. не показана), проходящей через опору О.

Запишем уравнение Лагранжа (учитываем, что все заданные силы потенциальные):

Вычисляем кинетическую энергию системы:

Кинетическая энергия груза 1, который принимаем за материальную точку:

Н·м.

Кинетическая энергия стержня ОА, вращающегося вокруг точки О:

Момент инерции стержня ОА относительно оси вращения:

кг·м².

Следовательно,

Н·м.

Кинетическая энергия плоской фигуры 4 (полукруга) относительно оси вращения О:

Момент инерции плоской фигуры относительно оси вращения О определим при помощи теоремы Гюйгенса-Штейнера:

кг·м².

где: - момент инерции полукруга относительно оси, проходящей через т. О₁.

Получаем:

Н·м.

Таким образом, кинетическая энергия системы равна:

Н·м.

Продифференцируем выражение кинетической энергии:

Вычислим потенциальную энергию системы. За нулевое положение системы примем ось ох.

Потенциальная энергия силы тяжести :

Н·м;

Потенциальная энергия силы тяжести :

Н·м;

Потенциальная энергия силы тяжести :

Н·м;

Потенциальная энергия силы упругости:

где: λ – удлинение пружины, причем

где: λ_ст – статическое сжатие пружины в положении равновесия.

Таким образом, потенциальная энергия системы равна:

Н·м;

Частная производная от потенциальной энергии П по обобщенной координате φ равна:

В положении равновесия система сумма моментов всех сил относительно точки О равна нулю. Следовательно:

Поэтому:

При малых колебаниях механической системы около положения равновесия ввиду незначительности угла φ можно положить:

и

Тогда

Уравнение Лагранжа будет иметь вид:

или

Обозначим

Таким образом получим дифференциальное уравнение свободных колебаний:

Период колебаний

Ответ: 1)

2)