7. Методы оптимизации

Параметры, доставляющие экстремум целевой функции при выполнении ограничений, находят с помощью какого-либо метода вычислительной (прикладной) математики. Эти методы разделяют на две большие группы:

1) аналитические методы (прямое исследование целевой функции на экстремум, метод множителей Лангранжа, метода вариационного исчисления);

2) численные методы, когда оптимальные параметры определяют с помощью некоторой итерационной процедуры (последовательными приближениями).

Ввиду сложности целевых функций и ограничений в инженерных задачах оптимизации наибольшее применение находят численные методы. Среди них следует выделить следующие методы:

а) нелинейного программирования, разработанные для нелинейных целевых функций при линейных и (или) нелинейных ограничениях;

б) линейного программирования, разработанные для линейных целевых функций при линейных ограничениях.

(Слово “программирование” в этих определениях не означает “составление вычислительных программ”).

Мы рассмотрим аналитическое решение некоторых задач оптимизации и отдельные методы нелинейного программирования.

7.1. Аналитические методы

Прямое исследование целевой функции на экстремум. Рассмотрим задачу об оптимальных параметрах коробчатого сечения балки, работающего на изгиб. Пусть требуется определить значения оптимальных параметров h, b, _П, _С коробчатого сечения (см. рис. 2.2,а), доставляющие минимум его площади при выполнении ограничений по прочности, поясненных в разд. 5:

; . Целевая функция имеет вид .

Из условия имеем . Подставив в это выражение , найдем .

Имеем задачу о минимизации площади коробчатого сечения при заданных моментах сопротивления и . Имея в виду, что = , = (без учета свесов поясов), можно получить .

Найдем и , обеспечивающие экстремум :

; - 1.5 _z/h² = 0 ; h = ;

; =1.5 W_y/b² = 0 ; b = ;

Таким образом, теоретический оптимум достигается при поясах и стенках, имеющих бесконечные размеры и нулевые толщины. Этот парадоксальный результат получился потому, что в систему ограничений не были включены ограничения по местной устойчивости. Для отыскания реального оптимума зафиксируем толщину стенки по условиям местной устойчивости, не рассматриваемым здесь подробно, или по технологическим соображениям. Тогда q = 2W_z/h + 4h_c/3 ; q/ h = 0 ; h = При этом значении h можно получить для оптимального случая из ограничений = 0 и = 0 : b = ; b = ; = .

При этом достигается минимум площади сечения, равный q_min = 3,27 .

Рассмотрим задачу об оптимальной форме статически неопределимой балки. Требуется определить оптимальную форму (распределение материала по длине) дважды защемленной балки коробчатого сечения, нагруженной силой P в середине пролета (рис.2.9,а).

Если учесть симметрию нагружения симметричной балки и пренебречь влиянием продольных сил, то балка будет один раз статически неопределимой относительно моментов M в защемлениях.

Эпюра поперечных сил Q, приведенная на рис.2.9,б, не зависит от формы симметричной балки. Эпюра изгибающих моментов (рис.2.9,а) будет состоять из двух прямолинейных участков, имеющих тангенсы углов наклона, равные Q = 0.5 P , и ординаты на концах, равные М. Значение моментов М зависит от формы балки и имеет пределы изменения от нуля (балка с шарнирными опорами рис.2.9,г) до 0.25 PL (балка с шарниром в середине пролета рис.2.9,д). Эпюра по рис.2.9,в характеризует наиболее общий случай. Эта эпюра вполне определяется координатой Z безмоментной точки. Величину Z примем за оптимизируемый параметр.

Рис.2.9. К расчету оптимальной формы статически неопределимой балки

Совершенно очевидно, что из всех балок с эпюрой изгибающих моментов, показанной на рис.2.9,в, самой легкой будет балка, очертания которой максимально приближаются к форме равного сопротивления, т.е. статически определимая разрезная балка (см. рис. 2.9,е) с двумя шарнирами в пролете, причем расположение шарниров определяется координатой Z. На рис. 2.9,ж показана оптимальная (по массе) форма такой балки. Высоту h в сечении с координатой Х можно найти из выражения для оптимальной высоты коробчатого сечения (см. выше) h = , причем абсолютная величина изгибающего момента равна

М_и = 0,5Р(Z - X) при 0 Х Z;

М_и = 0,5Р(X - Z) при Z Х 0,5L;

Минимальная площадь коробчатого сечения, нагруженного моментом М_и , равна F = 3,27 . Минимальный объем балки (целевую функцию для оптимизации параметра Z) вычисляем с помощью выражения

V = =

=

= .

Найдем значение Z , доставляющее минимум объема V:

1,5 ; z= 0,25L .

Этому отвечает минимум объема балки, равный

V = .

Оптимальная форма балки при Z = 0,25L приведена на рис. 2.9,з. Такую же эпюру изгибающих моментов при Z = 0,25 L имеет балка постоянного сечения, показанная (см. рис. 2.9з) штриховой линией. Минимальный объем такой балки равен

V* = 3,27L ,

т.е. в 1,5 раза больше, чем при оптимальной форме. Если учесть влияние поперечных сил, то форму балки следует откорректировать по рис. 2.9,и.

Заметим, что подобный подход применим для отыскания оптимальных форм других видов статически неопределимых балок и рам (см. рис.2,а). Для рамы, показанной на рис.2.10,б с двумя шарнирами в ригеле, оптимизируемым параметром будет координата Z шарнира (в данном случае функция объема V(Z) в интервале 0 Z 0,5L не имеет математического минимума, но имеет наименьшее значение).

Рама, показанная на рис. 2.10,б геометрически изменяема. На ее основе можно получить геометрически неизменяемую форму (см. рис.2.10,б штриховую линию) и одновременно учесть влияние поперечных сил.

При этом для сохранения эпюры изгибающих моментов с координатой безмоментной точки необходимо удовлетворить каноническому уравнению метода сил ₁₁H + _1P = 0, причем (рис.2.10,в,г)

₁₁ = ; _1Р = ; Н = , где J₁(x) и J₂(x) – функции изменения момента инерции сечения по длине стоек и ригеля. Подставив значения ₁₁,  _1Р и Н в каноническое уравнение, получим

; .

Данное условие есть ограничение по равенству.