Найдем выборочное уравнение линейной регрессии
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид
Система нормальных уравнений имеет вид:
Наша система уравнений имеет вид:
Решим ее методом Крамера
;
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:
b= –0,00333, a=54,3923
Уравнение регрессии:
Описание уравнения регрессии
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.
Коэффициент регрессии b = –0,00333 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на –0,00333.
Коэффициент a = 54,3923 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе – обратная). В нашем примере связь обратная.
Строим корреляционное поле и прямую выборочной регрессии в нем
Задание 3.
Используя производственную функцию Кобба-Дугласа;
А) рассчитать характеристики:
1) среднюю производительность труда;
2) среднюю фондоотдачу;
3) предельную производительность труда;
4) предельную фондоотдачу;
5) эластичность выпуска продукции по затратам труда;
6) эластичность выпуска продукции по производственным фондам.
Б) Найти прогноз выпуска yпр для заданных значений x1 и x2.
Решение
Определим степень однородности данной
производственной функции. Она вычисляется
как
.
Это означает, что при увеличении
капитальных и трудовых затрат в λ раз
объем производства увеличится в λ1
раз, что характерно для развивающейся
экономики.
Средняя производительность труда AYX2 равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда X2:
;
Средняя фондоотдача AYX1 равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:
;
Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала X1:
;
Эластичность выпуска продукции
Коэффициентом эластичности продукта по i-фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i-фактора на 1%.
Эластичность по i-фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна εX1 = α = 0,2
эластичность производственной функции по труду равна εX2 = β = 0,8
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β>α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Прогноз
