2. Основні ф-ли комформного зображення еліпсоїда на площині в пр-ції г-к

Розглянемо рис.1 Нехай на поверхні зем.еліпсоїда задано 2 точки відстань між якими є нескінченно малою =dS. Створимо для цієї частини еліпсоїда плоске зобр. в проекції Гаусса-Крюгера (рис.2).

Відомо, що масштабом зображення наз. відношення відрізка в проекції до відповідного йому відрізка на вих. пов-ні., тобто: m=dS’/dS. Нехай відрізок dS’ на площині визначається приростками координат, тоді: dS’²=dх²+dу² Відрізок Q₁Q₀ є елементарною дугою мерид.Тоді: Q₁Q₀=МdB, М-радіус кривизни мерид.

Відомо, що меридіани і паралелі взаємно перпендикулярні. Q₀Q₂=rdL=NcosBdL. Розглядаючи на еліпсоїді трикут. Q₁Q₀Q₂ як нескінчено малий прямокутний тр-к, розв’язуємо його як плоский: dS²=(МdB)²+( Ncos BdL)²

dq= МdB/ NcosB

Виконаємо подальше перетворення, викор. комплексну змінну і=√-1

Остання формула є формулою масштабу довжин для довільної картог. проекції. Пристусуємо її до умов проекції Гауса-Крюгера. Однією із головних умов є умова подібності зображення елементів сфери і відповідних елементів проекції. Така подібність буде тільки тоді, коли масштаб довжини не залежить від напрямку. В теорії функцій комплесної змінної доказується теорема про те, що масштаб, який визначається не буде залежити від напрямку тільки в тому випадку, коли функції чисельника і знаменника фукціонально залежні між собою, тобто: х+іу=f₁(q+il)

x-iy= f₂(q-il) (1) В цих формулах l хар-є відстань до осьового меридіана від тої чи іншої точки і як відомо ця відстань ограничується розмірами зони проекції Гауса-Крюгера, тобто l не може бути більше 3º. У звязку з цим праву частину можна представити розкладом в ряд Тейлора. Маємо:

Встановимо зміст вел-ни f (q).Маємо зображ. Зони:

Підставляючи значення l=0 в умову (1), отримаємо в правій частині цього виразу: f (q) = X f (q) є випрямленою дугою ос-го мер-на, відповідає широті точки. З урахув. цієї ф-ли, розклад в ряд:

Додамо ці р-ня:

Віднімемо їх:

Ці формули є формулами загальної теорії проекції Гаусса-Крюгера.

3.Зв’язок між геодезичними і прямокутними к – тами в пр- ції г-к

Перевичеслення геодезичних координат в зональні координати здійснюється на основі формул загальної теорії проекції Гаусса-Крюгера (1):

Як відомо,Х є випрямленою дугою ос-го мер-на, відповідає широті точки.Відрізок OQ’ є дугою мер-на,то: M×dB=dX(2) (3).Підст. (2) в (3)

(4) Визначимо диф-ал 2 пор.:

(5)

Відомо, що радіус кривини меридіана дорівнює:

. Для виз-ня dB/dq використ (3): Знайдемо:

Якщо за аналогічною методикою знайти диф-ли 3 та ін. пор. і підставити їх в (1), то отрим. Ф-ли, які встановлюють чітку ф-нальну залежність між геод-ми к-ми та зон-ми к-ми х,у.

Ці ф-ли є ф-ми для обчислення зональних координат за відомими геодезичними координатами.

t=tg B

4. Перехід від прямокутних к-т пр.-ції г-к до геод

Проекція Г-К встан чіткий ф-нальний зв'язок між геод і зон к-ми, так і обернений, за яким можна визначити геод к-ти.Загальна теорія проекції Г-К базується на двох функціональних залежностях:

x+il=f₁ (q+il)

x-il=f₂ (q-il)

Ці формули встановлюють функціональний зв’язок між зон к-ми х,у і геод к-ми B, L. Очевидно існує і обернений функціональний зв’язок між ними, тобто:

q+il=F (x+iу)

q-il=F (x-iу) (1)

В (1) у характеризує відстань до точок від осьового меридіану зони і ця відстань строго ограничена розмірами зони. Вважаючи її малою вел-ною, представимо праву част р-нь (1) розкладом в ряд Тейлора:

Встановимо зміст величини F (x). Приймемо що к-та довільної точки пр. Г-К прямує до нуля.Точка Q0 стає т.Q1, різниця довгот l=0.Таким чином, точка буде визначатися лише к-тою Х. Підставимо х=0 у=0 в (1): q = F (x) = q_x – хар-зує полож точки на ос.мер-ні. Рівняння розкладу в ряд:

Додамо їх:

Віднімемо:

Ф-ли встановлюють ф-нальну залежність між зон та геод к-ми. Для реалізації отриманих формул знайдемо диф-ли dq/dx різних порядків. Відомо, що dq=МdB/NcosB. У цій формулі вираз МdB хар-є дугу осьового меридіана dx=MdB. З врахуванням цього dq/dx=1/NcosB. Для визначення диф-ла 2 порядку: d²q/dx²=d(dq/dx) / dB * dB/dx. Визначення 1-ої складової передбачає диф-ня по широті В: dq/dx=1/r, де r-радіус паралелі, r=N cosB, d(dq/dx) / dB=-1\r²*dr\dB. Радіус паралелі-це є функція широти: r= cosB*a(1-e²sinB)^-1\2. Тоді:

dr/dB=a(-sinB(1-e²sinB)^-1\2+cosB(-1\2)(1-e²sinB)^-3\2(e² 2sinBcosB)). Звідси: dr/dB=asinB(1-e²sinB)^-3\2* *(-1+e²sinB+e²cos²B). Отже, dr / dB= -M*sinB.

Підставляємо: d(dq/dx) / dB = M*sinB / N²*cos²B

буде: dB / dx=1/M. (d²q/dx²)₁=sinB₁ / N₁²*cos²B₁

Якщо підставити диф-ли вищих порядків, то отримаємо вирази для визначення q і l:

На основі формули dq=МdB/NcosB представимо символ q у функц. у залежності від геодез.широти В:

q=f(B)=f(B+B₁-B₁)

q= f(B₁+(B-B₁))

Величини B і B₁ близькі між собою. Якщо f(B₁) вважати величиною q₁, то з отриманого рівняння знайдемо: q-q₁ =(B-B₁) dq\dB, (B-B₁)=(q-q₁) dq\dB.

dq\dB визначаємо із формули dq=МdB/NcosB:

dB\dq=(NcosB)/M. Якщо цей вираз підставити в попередній,а (q-q₁) визначити з рі-ня, то кінцево для геодез. широти отримаємо: B=B₁- (y²/2) (sinB₁/N₁²cos²B₁) dB/dq.

Ці ф-ли дозволяють перевичислити плоскі прямокутні коорд. х і у в геодез.коорд. В і l.

t=tg B