1.11. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков

Для простоты записей будем рассматривать функции двух переменных

y = f(x₁, x₂).

Мы отмечали ранее, что частные производные и полный дифференциал можно рассматривать как функции переменных х₁, х₂. Следовательно, для этих функций можно ставить вопрос о вычислении частных производных и полных дифференциалов.

Частной производной второго порядка называют частную производную от частной производной. При этом возможны следующие ситуации:

вторая частная производная дважды по х₁;

вторая частная смешанная производная по х₁ и по х₂;

вторая частная смешанная производная по х₂ и по х₁;

вторая частная производная дважды по х₂.

Аналогичным образом определяются частные производные более высоких порядков. Вообще, частная производная порядка n есть частная производная от частной производной порядка (n - 1). Например,

означает следующее:

где .

Вообще говоря, даже смешанные частные производные второго порядка и различны.

Однако имеет место следующая теорема.

Теорема. Если и непрерывны на множестве, то они совпадают.

Аналогичное утверждение справедливо для любых других смешанных частных производных.

Полным дифференциалом второго порядка называют полный дифференциал от полного дифференциала: d²y = d(dy). Вообще, полным дифференциалом порядка n называют полный дифференциал от полного дифференциала порядка (n - 1): dⁿy = d(d^{n 1}y).

Пользуясь формулой (3) , получаем:

В символической форме это равенство можно записать в виде:

Методом математической индукции нетрудно убедиться в том, что

3.2. Экстремумы функций нескольких переменных

Пусть точка а = (а₁, а₂, ..., а_n) - внутренняя точка области определения функции y = f(x), x = (x₁, x₂, ..., x_n).

Определение. Мы будем говорить , что в точке а функция y = f(x) имеет максимум (минимум), если в достаточно малой окрестности точки а c выколотым центром имеет место неравенство:

f(x) < f(a) (f(x) > f(a)).

Обе определенные ситуации «минимум и максимум» объединяются термином «экстремум».

Рассмотрим вместе с функцией f(x) n порождаемых ею функций одного переменного:

y_j(x_j) = f(a₁, a₂, ..., a_j1, x_j, a_j+1, ..., a_n), где j = 1, 2, ..., n.

Из определения вытекает, что функция одного переменного y_j(x_j) имеет в точках a_j, j = 1,2,..., n, такой же экстремум, как и функция f(x) в точке а. Кроме того, по определению производных.

Вспоминая необходимые условия экстремума для функции одного переменного, приходим к следующему утверждению.

2.1. Необходимые условия экстремума

Если функция y = f(x₁, x₂, ..., x_n) имеет в точке а = (а₁, а₂, ..., а_n) экстремум и частные производные, то:

Следствие. Функция нескольких переменных может иметь экстремум лишь в тех точках, где частные производные либо обращаются в нуль, либо не существуют.

Точки, в которых частные производные функции y = f(x) либо обращаются в нуль, либо не существуют, называются критическими точками функции.

Итак, функция может иметь экстремум лишь в критической точке. Однако не всякая критическая точка есть точка экстремума. Например, для функции точка (0, 0) очевидно, является критической. Но эта точка не является точкой экстремума, ибо в любой окрестности этой точки:

Приведенный пример является “историческим” в следующем смысле. Поверхность напоминает в точке (0. 0) седло. В связи с этим критические точки функции, не являющиеся точками экстремума, принято называть седловыми точками.