Дисконтирование

Определение. Дисконтированием называется процесс вычисления начальной суммы S по ее конечной величине S_t, полученной через t лет при годовой процентной ставке р.

При непрерывном начислении процента конечная сумма вычисляется по формуле  , где  .

Пусть сумма   - функция от времени, тогда дисконтированная сумма к моменту времени t составит  , откуда  .

Чтобы вычислить величину S, разделим отрезок времени t на n равных отрезков времени ∆t. В малом отрезке времени ∆t доход можно считать неизменным и, следовательно, равным  . При непрерывном начислении процентов дисконтированный доход составит  .

В отрезке времени   дисконтированный доход составит

.

Полная дисконтированная сумма за период времени t вычисляется по формуле

.                                                        (5)

 

Пример 4. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн. руб.

Решение. Очевидно, что капиталовложения задаются функцией  . Тогда по формуле

дисконтированная сумма капиталовложений

.

Интегрируя, получим   (млрд. руб.). Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млн. руб. при той же, но начисляемой непрерывно процентной ставке.

 

Капитал (основные фонды) и чистые инвестиции

Пусть К(t) - функция капитала, зависящая от времени, а I(t) - чистые инвестиции, т.е. общее увеличение капитала с вычетом средств, идущих на возмещение выходящих из строя основных фондов (капитала). Иначе, за единицу времени капитал увеличивается на величину чистых инвестиций. Тогда

 - производная от капитала по времени t.

Чтобы найти приращение капитала за период времени от t₁ до t₂, т.е. величину  , воспользуемся формулой, связывающей первообразную К(t) с определенным интегралом:

.                                                              (6)

 

Неравномерное распределение дохода

Пусть функция   характеризует неравномерность распределения доходов среди населения, где у – доля совокупного дохода, получаемая частью х наиболее низкооплачиваемого населения.

Рис. 2

График рассматриваемой функции называется кривой Лоренца (рис. 2.3), где  ,  ,  . Исследуя кривую Лоренца, отражающую зависимость процента доходов от процента имеющего их населения, можно оценить степень неравенства в распределении доходов населения.

Заметим, что при равномерном (идеальном) распределении доходов кривая Лоренца представляет собой прямую   - биссектрису ОА.

Определение. Отклонение реального распределения доходов от идеального, выражающееся отношением площади между прямой   и кривой Лоренца к площади, ограниченной прямыми  ,   и осью Ох, называется коэффициентом неравномерности распределения доходов(коэффициентом Джини).

Очевидно, что неравномерность распределения доходов тем больше, чем больше площадь фигуры ОАВ (рис. 2).

 

Пример 5. Распределение доходов в одной из стран описывается уравнением

, где  .

Определить коэффициент Джини k.

Решение. Согласно формуле

получим площадь фигуры ОАВ (рис. 2.3):

Площадь треугольника ОАС:

.

Тогда

.