В) Свойства случайных ошибок

1 Свойство компенсации: сумма случайных ошибок, делённая на их число при неограниченном увеличении количества измерений n стремится у нулю

. ( 3 )

n n

2. Свойство симметричности относительно нуля: положительные и отрицательные ошибки, равные по абсолютной величине, появляются с одинаковой вероятностью.

3. Свойство рассеивания: сумма квадратов случайных ошибок, делённая на их число n, при неограниченном числе измерений стремится к своему стандарту m²₀ , называемому теоретическим значением средней квадратической ошибки, т.е.

= m²₀ . ( 4 )

n n

4 Свойство ограниченности: случайная ошибка по абсолютной величине не превышает некоторого предела _пр, называемого предельной ошибкой

_i  _пр. ( 5 )

5 Свойство плотности : чем больше по абсолютной величине случайная ошибка, тем реже она встречается и, наоборот, чем меньше случайная ошибка тем чаще она появляется.

2 Оценка точности равноточных измерений

Измерения, выполненные в одинаковых условиях, равным числом приёмов измерений, одним и тем же прибором называют равноточными.

А) Понятие точности измерений, арифметической средины

Под точностью измерений понимают качество измерений, определяющее близость их результатов к точному значению измеряемой величины.

В какой последовательности выполняют оценку точности результатов равноточных измерений?

Её выполняют в следующей последовательности:

- вычисляют значение арифметической средины X ( среднего арифметического ) ;

- вычисляют значение средней квадратической ошибки ( ср. кв.ош. ) m отдельного измерения;

- вычисляют значение ср.кв.ош. М арифметической средины.

Что понимают под арифметической срединой? Каким образом её определяют по результатам измерений?

Если в результате равноточных измерений получен ряд измеренных величин l ₁ , l ₂ , l ₃ ... l _{n ,} а X - точное значение измеряемой величины, то можно написать ряд случайных ошибок: ₁ = l ₁ - X ; ₂ = l ₂ - X ... _n= = l _n - X /

Образовав сумму этих ошибок + ₂ + ₃ + ...+ _n = l₁ + l₂ + +l₃ +...+ l _n , получим   =  l  - nХ.

Разделив обе части последнего соотношения на n, имеем

. ( 6 )

Согласно свойству случайных ошибок при стремится к нулю. Поэтому , то-есть .

Следовательно, среднее арифметическое из l измерений выражается формулой

. ( 7 )

Кроме того, среднее арифметическое из l измерений стремится к истинному значению измеряемой величины при большом числе измерений n.

Значение арифметической средины является наиболее точным и надёжным значением измеряемой величины.

Б) Понятие средней квадратической ошибки. Оценка точности измерений по формуле к. Гаусса

Чтобы выполнить оценку точности измерений, необходимо оценить прежде всего точность отдельного измерения. Казалось бы естественным взять для этого среднее арифметическое из всех случайных ошибок. Однако при этом на величину средней ошибки влияли бы разные знаки отдельных ошибок и может случиться так, что ряд с крупными отдельными ошибками получил бы меньшую среднюю ошибку, чем ряд с меньшими ошибками.

Если взять среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок, то при этом не будет достаточно отражено наличие в данном ряде отдельных сравнительно крупных ошибок.

При выборе критерия для оценки точности ряда измерений необходимо иметь в виду, что результат должен быть одинаково ошибочным, будет ли он больше или меньше истинного значения измеряемой величины. Кроме того, чем крупнее в данном ряде отдельные ошибки, тем меньше должна быть его точность.

Этим условиям лучше всего удовлетворяет средняя квадратическая ошибка результата измерения, выражаемая соотношением

m = , ( 8 )

где _i - разности измеренных величин l _i и истинных значений X

_i = l _i - X , ( 9 )

известным как формула К . Гаусса

Пример обработки результатов измерения длины линии представлен в таблице 1.

Таблица 1 Обработка результатов измерения длины линии по формуле К. Гаусса

№№ Измеренная Истинная Ошибки

измере- длина длина _i,см _i²,см

ний l _i ,м X, м

1 110.01 110.01 0 0

2 03 + 2 4

3 02 +1 1

4 05 +4 16

5 04 +3 9

= 30

m = = 2.45 см.

Утроенное значение ср.кв.ош. принимается в качестве предельной ошибки  _пр = 3m при вероятности р = 0.997. При вероятности р = 0.99 предельная ошибка  _пр = 2.5 m, а при вероятности р = 0.95  _пр. = 2 m