5. Анализ на чувствительность

Анализ модели на чувствительность представляет собой исследование влияния изменения исходных параметров модели на оптимальное решение. Для задачи ЛП этими параметрами являются коэффициенты целевой функции, правые части ограничений и коэффициенты при переменных в ограничениях задачи.

Теоремы двойственности

Двойственность является одним из фундаментальных понятий в теории ЛП. Исключительно важную роль играют следующие утверждения, получившие названия теорем двойственности [1,3].

Первая теорема двойственности.Если одна из пары двойственных задач (I) и (II) разрешима, то разрешима и другая задача, причем оптимальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают:

где – оптимальные планы задач (I) и (II) соответственно.

Говорят, что допустимые решения x,yудовлетворяют условиям дополняющей нежесткости (УДН), если при подстановке этих векторов в ограничения задач (I) и (II) хотя бы одно из любой пары сопряженных неравенств обращается в равенство.

Вторая теорема двойственности.оптимальны в задачах (I) и (II) тогда и только тогда, когда они удовлетворяют УДН.

Известно решение Х*=(0, 50, 0, 0, 250), L=900.

L=2x1+3x2+1x3+2x4+3x5max

20x1+19x2+20x3+21x4+21x5<25.000

10x1+8x2+12x3+11x4 +13x5<10.000

5x1+6x2+ 4x3+5x4+6x5<4.000(3)

2x1+0x2+0x3+0x4+0x5<200

0x1+4x2+0x3+0x4+0x5<200

5x1+4x2+3x3+8x4+4x5<1.200

0x1+0x2+0x3+0x4+5x5<1.400

40x1+38x2+42x3+40x4+45x5<40.000

25.000 У1+10.000 У2+4.000 У3+200 У4+200 У5+1.200 У6+1.400 У7+40.000 У8min

Найдем оптимальный план У* = (У*1,У*2,У*3,………., У*8) используя вторую теорему двойственности. Подставим координаты вектора в ограничения задачи (3). Получим

20*0 + 19*50 + 20*0 + 21*0 + 21*250 = 6.200 <25.000

10*0 + 8*50 + 12*0 + 11*0 + 13*250 = 3.650 <10.000

5*0 + 6*50 + 4*0 + 5*0 + 6*250 = 1.800 <4.000

2*0 + 0*50 + 0*0 + 0*0 + 0*250 =0 <200

0*0 + 4*50 + 0*0 + 0*0 + 0*250 =200 =200

5*0 + 4*50 + 3*0 + 8*0 + 4*250 = 1.200 = 1.200

0*0 + 0*50 + 0*0 + 0*0 + 5*250 = 1.250 < 1.400

40*0 + 38*50 + 42*0 + 40*0 + 45*250 = 13.150 <40.000

Далее, так как x₂= 50>0,x₅= 250>0 , то в силу УДН выполняется равенства.

20у1 + 10у2 + 5у3 + 2у4 + 0у5 + 5у6 + 0у7 + 40у8 >2

19у1 + 8у2 + 6у3 + 0у 4+ 4у5 + 4у6 + 0у7 + 38у8 =3

20у 1+ 12у 2 + 4у3 + 0у4 + 0у5 + 3у6 + 0у7 + 42у8 >1

21у1 + 11у2 + 5у2 + 0у4 + 0у5 + 8у6 + 0у7 + 40у8 > 2

21у1 + 13у2 + 6у3 + 0у4 + 0у5 + 4у6 + 5у7 + 45у8 =3

Получаем систему линейных уравнений и решаем ее:

X2=50 19у1 + 8у2 + 6у3 + 0у 4+ 4у5 + 4у6 + 0у7 + 38у8 = 3

..

Х5=250 21у1 + 13у2 + 6у3 + 0у4 + 0у5 + 4у6 + 5у7 + 45у8 = 3

4 у5 + 4 у6 = 3 у5 = 0

4 у6 = 3 у6 = 3/4