2.3. Нормальное распределение

Для основательного изучения вопроса рекомендуется учебное пособие: Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1972. -368 с.

Напомним, что меру объективной возможности того, что произойдёт событие А, называют его вероятностью Р(А). Если провести N испытаний и определить количество К исходов с осуществлением события А, то величина будет частностью, которая является оценкой вероятности Р(А).

Дискретная случайная величина задаётся перечнем её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим, так как его нельзя применить для непрерывных случайных величин.

С целью задания любых типов случайных величин вводят интегральные и дифференциальные функции распределения.

Пусть х - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение меньше х обозначим через F(x). Тогда интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. . Полученное равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Случайная величина непрерывна, если её интегральная функция распределения F(x) непрерывно дифференцируема.

Из определения интегральной функции как вероятности вытекают следующие свойства: значения интегральной функции принадлежат отрезку ; F(x) - неубывающая функция, т.е. ; если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

F(x)=0

при

;

F(x)=1

при

.

Следствия: вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале, т.е. ; вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определённое значение, равна нулю; если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

Функцию

где P - вероятность попадания случайной величины Х в интервал называем плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Дифференциальной функцией распределения f(x) (или плотностью вероятности р(х)) является первая производная от интегральной функции, т.е. . Следовательно, интегральная функция это первообразная для соответствующей дифференциальной функции.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), следующая:

Результат теоремы означает: вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью х, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и х=b.

2.1. Случайные величины и их числовые характеристики

Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате испытаний может принимать то или иное значение в границах определённого интервала. Например, действительный размер заготовки под обработку давлением является случайной величиной, так как в процессе её изготовления действует множество случайных факторов.

Дискретными случайными величинами называются такие, которые принимают отдельные, большей частью целочисленные значения. Например, количество заготовок есть дискретная случайная величина.

Непрерывной случайной величиной называется такая, которая может принимать любые численные значения из непрерывного ряда возможных значений. Таким образом, действительные размеры заготовки являются непрерывными случайными величинами. Они могут быть заданы в виде функции.

Для количественной оценки случайных величин пользуются числовыми характеристиками. К числовым характеристикам, определяющим положение центра группировки, относятся: среднее арифметическое, медиана и мода; к характеристикам, определяющим меру рассеяния - дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Введём числовые характеристики случайной величины для рядов с малым числом наблюдений.

Пусть, например, при измерении значения предела текучести алюминиевых прутков, изготовленных в одинаковых условиях (на одном оборудовании и по одной технологии), были получены следующие результаты: 177, 174, 178, 176, 175, 175, 173, 171, 167, 177 [MПa], что в сумме составляет 1743. Требуется дать количественные характеристики приведенной случайной величины.

Формулы для расчёта числовых характеристик случайных величин приведены в табл. 2.1.

Основными статистическими характеристиками, отражающими среднее положение наблюдаемых значений в ряду, являются средняя арифметическая, медиана и мода.

Для расчёта медианы (Ме) все измерения располагаются в возрастающий (или убывающий) ряд, после чего в качестве медианы выбирается значение величины, занимающей срединное положение в ряду. При чётном числе измерений медианой будет средняя арифметическая двух значений, расположенных в центре ряда.

Модой (Мо) называется такое значение случайной величины, которое наблюдается наиболее часто.

За меру рассеяния принимают сумму квадратов отклонений отдельных значений случайных величин от математического ожидания (среднего арифметического при (n ® ¥)), делённую на количество наблюдений. Эта мера называется дисперсией.

Если дисперсия вычисляется при большом числе наблюдений (n ® ¥), то она называется генеральной.

Таблица 2.1

Основные статистические характеристики

№	Название характеристики	Расчётная формула
1	Средняя арифметическая из n измерений
2	Дисперсия генеральная	D(x) =
3	Дисперсия выборочная (f=n-1 - число степеней свободы; n - число наблюдений)
4	Среднее квадратичное отклонение
5	Исправленное среднее квадратичное отклонение
6	Коэффициент вариации
7	Размах

При конечном числе наблюдений дисперсия характеризует разброс значений случайных величин относительно их среднего арифметического. Такая дисперсия s² называется выборочной.

Вместо дисперсии часто применяют среднее квадратичное отклонение . Оно, в отличие от дисперсии, имеет ту же размерность, что и средняя арифметическая.

Процентное отношение исправленного среднего квадратичного отклонения к средней арифметической называется коэффициентом вариации v. Коэффициент вариации показывает колебание отдельных значений случайной величины около средней арифметической.

Следует ожидать, что дисперсия больших величин будет больше дисперсии малых величин. Коэффициент вариации исключает это влияние. Будучи безразмерным, он удобен для сравнений.

Простейшей мерой рассеяния является размах .