2.1.5 The Vinogradov “≪” notation 2.1.5 Виноградов "" "обозначения

This notation was introduced by the Russian number theorist IM Vino- Это обозначение было введено русским теории чисел И. М. Вино-

gradov as an alternative to the O-notation. Виноградова в качестве альтернативы O-обозначений. Along with the closely related Наряду с тесно связанной с

notations “≫” and “ ”, it has all become standard in number theory, Обозначения "» "и" ", он все стали стандартом в теории чисел,

though it is less common in other areas of mathematics. хотя она менее распространена и в других областях математики. In the case of В случае

functions of a real variable x and (implicit) ranges of the form x ≥ x функций действительной переменной х и (неявно) Диапазоны вида х ≥ х

0 0

, these , Эти

three notations are defined as follows: три нотации определяется следующим образом:

• “f(x) ≪ g(x)” is equivalent to “f(x) = O(g(x))”. • "(х)« г (х) "эквивалентно" F (X) = O (г (х)) ".

• “f(x) ≫ g(x)” is equivalent to “g(x) ≪ f(x)”. • "F (X)» г (х) "эквивалентно" г (х) «(х)".

• “f(x) • "F (X)

g(x)” means that both “f(x) ≪ g(x)” and “g(x) ≫ f(x)” г (х) "означает, что и" F (X) «д (х)" и "д (х)» (х) "

hold. удерживайте нажатой клавишу.

These definitions generalize in an obvious manner to more general func- Эти определения обобщаются очевидным образом на более общие функции

tions and ranges. ных и диапазонов.

Asymptotic Analysis Асимптотический анализ

2.9.2009 2.9.2009

Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009

Page 8 Page 8

16 16

CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ

If f(x) Если F (X)

g(x), we say that f(x) and g(x) have the same order of г (х), мы говорим, что F (х) и д (х) имеют тот же порядок

magnitude. величины. From the definition it is easy to see that “f(x) Из определения легко видеть, что "F (X)

g(x)” holds г (х) "держит

if and only if there exist positive constants c если и только если существуют положительные константы с

1 1

and c и с

2 2

and a constant x и постоянная х

0 0

such такие

that что

(2.1) (2.1)

c С

1 1

|g(x)| ≤ |f(x)| ≤ c | Г (х) | ≤ | F (X) | ≤ C

2 2

|g(x)| (x ≥ x | Г (х) | (х ≥ х

0 0

). ).

As with the O-notation, dependence on parameters may be indicated Как и в случае O-обозначений, зависимость от параметров может быть указано

by putting the parameters as subscripts to the “≪” or “≫” symbols. , поставив параметры, как индексы к "« »или« »« символами. For Для

example, the estimate (x+1) Например, оценка (х +1)

A

= O = O

A

ϵ ε

(exp((log x) (Ехр ((войти х)

1+ϵ 1 + ε

)), which we considered )), Который мы рассматривали

in Example 2.2, could have been written in the equivalent form в примере 2.2, можно было бы записать в эквивалентной форме

(x + 1) (Х + 1)

A

≪ «

A,ϵ , Ε

exp ехр

( (

(log x) (Вход х)

1+ϵ 1 + ε

) )

. .

The primary advantage of the Vinogradov notation over the O-notation Основное преимущество обозначения Виноградов над O-обозначений

is a typographical one: If the function g(x) is a complicated expression (for является типографский один: Если функция г (х) является сложным выражением (для

example, a sum of several integrals), then f(x) ≪ g(x) looks much cleaner Например, сумма нескольких интегралов), то F (X) «д (х) выглядит намного чище

than f(x) = O(g(x)) (which would require an oversized set of parentheses). чем F (X) = O (г (х)) (что потребует негабаритных множество круглых скобках).

In addition, the Vinogradov notation provides an easy way to express lower Кроме того, обозначение Виноградов предоставляет простой способ выразить ниже

bounds by using the symbol “≫” instead of “≪”, and the “ ” symbol allows границы с помощью символа "» "вместо" «" и символ "" позволяет

one to express two O-estimates in a single statement. один для передачи двух O-оценки в одной инструкции.

The Vinogradov notation has the drawback that, unlike the O-notation, Обозначение Виноградов имеет тот недостаток, что, в отличие от O-обозначений,

it does not extend to terms in arithmetic expressions. оно не распространяется на членов арифметических выражений. Thus, for example, Так, например,

while one can rewrite the estimate а можно переписать оценку

π(x) − π (х) -

x х

log x войти х

= O = O

( x (Х

log x) войти х)

2 2

) )

in an equivalent manner as в эквиваленте, как

π(x) = π (х) =

x х

log x войти х

( (

1 + O 1 + O

( 1 (1

log x войти х

)) ))

, ,

only the first version can be stated using the Vinogradov “≪” notation: Только первый вариант можно констатировать помощью Виноградов "" "обозначения:

π(x) − π (х) -

x х

log x войти х

≪ «

x х

(log x) (Вход х)

2 2

. .

Thus, depending on the situation, one or the other of these two notations Таким образом, в зависимости от ситуации, одной или другой из этих двух обозначений

may be more convenient to use, and we will use both notations interchange- может быть более удобным в использовании, и мы будем использовать оба обозначения взаимозаменяемы

ably throughout this course, rather than settle on one particular type of умело всем этим, конечно, а не оседать на одном конкретном типе

notation. обозначений.

Asymptotic Analysis Асимптотический анализ

2.9.2009 2.9.2009

Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009

Page 9 Page 9

2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ

17 17

Example 2.10. Пример 2.10. For any positive integer n and any positive real number p Для любого натурального п и любого положительного реального числа р

we have у нас есть

(a (

1 1

+ ··· + a + · · · +

n п

) )

p р

p,n р, п

a

p р

1 1

+ ··· + a + · · · +

p р

n п

(a (

1 1

,...,a , ...,

n п

≥ 0). ≥ 0).

Proof. Доказательство. The upper bound of this estimate (ie, the “≪” portion of “ ”) was Верхняя граница этой оценки (например, "« "часть" ") было

established (quite easily) in Example 2.7, but the proof of the lower bound установлено (довольно легко) в примере 2.7, но доказательство нижней границы

is just as simple: Since так же просто: с

a

p р

1 1

+ ··· + a + · · · +

p р

n п

≤ n(max(a ≤ п (максимальная (

1 1

,...,a , ...,

n п

)) ))

p р

≤ n(a ≤ п (

1 1

+ ··· + a + · · · +

n п

) )

p р

, ,

we obtain the “≫” portion of the estimate with constant 1/n. получаем "» "части оценки с постоянным 1 / л.

This example is a good illustration of the benefits of the “ ” nota- Этот пример является хорошей иллюстрацией преимуществ "," НОТА-

tion. ния. With this notation, the asserted two-sided estimate we claimed takes В этих обозначениях, утверждал двустороннюю оценку мы утверждали, принимает

a concise, and suggestive, one-line form, whereas the same estimate in the кратким, и наводящий, одна линия форме, в то время как такую ​​же оценку в

O-notation would have required two somewhat clumsy looking O-relations. O-обозначений потребовалось бы два несколько неуклюжей ищет O-отношений.

Example 2.11. Пример 2.11. We have У нас есть

√ √

log y У входа

√ √

log x (x Журнал х (х

1/2 1/2

≤ y ≤ x ≤ у ≤ х

2 2

,x ≥ 1). , Х ≥ 1).

Proof. Доказательство. This follows immediately on noting that the function f(y) = Это сразу следует отметить, что в функции F (Y) =

√ √

log y У входа

is increasing and satisfies возрастает и удовлетворяет

f(x F (X

1/2 1/2

) = ) =

√ √

log x войти х

1/2 1/2

= 2 = 2

−1/2 -1 / 2

√ √

log x = 2 войти х = 2

−1/2 -1 / 2

f(x) (x ≥ 1). F (х) (х ≥ 1).

and, similarly, f(x и, аналогично, F (X

2 2

) = 2 ) = 2

1/2 1/2

f(x). F (X).

Example 2.12. Пример 2.12. If f(x) and g(x) are positive functions, then Если F (х) и д (х) положительные функции, то

f(x) F (X)

g(x) г (х)

holds if and only if имеет место тогда и только тогда, когда

log f(x) = log g(x) + O(1). войти F (X) = Журнал д (х) + O (1).

This follows immediately from the explicit version (2.1) of the relation “ ”. Это непосредственно вытекает из явного версия (2,1) отношения "".

Asymptotic Analysis Асимптотический анализ

2.9.2009 2.9.2009

Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009

Page 10 Page 10

18 18

CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ

2.1.6 Other variants of the O-notation 2.1.6 Другие варианты O-обозначений

Some other notations that are equivalent to or related to the O-notation Некоторые другие обозначения, которые эквивалентны или связанные с O-обозначений

and which are occasionally used are the following. и которые иногда используются, являются следующие. All of these notations are Все эти обозначения являются

non-standard and do not have a generally accepted meaning, so they should нестандартное и не имеют общепринятого значения, поэтому они должны

be avoided, or at least precisely defined before use. можно избежать или, по крайней мере точно определены до использования.

• In some areas of analysis (especially harmonic analysis), the symbol • В некоторых областях анализа (особенно гармонического анализа), символ

“≲” is used with the same meaning as “≪”. "≲" используется в том же значении, как «« ».

• The symbol “⋘” is sometimes used to indicate that one function is • Символ "⋘" иногда используется, чтобы указать, что одна функция

“of smaller order of magnitude” than another function, usually in the "Меньшего порядка", чем другая функция, как правило, в

sense that the ratio between the two functions tends to 0 (ie, the смысле, что отношение между этими двумя функциями стремится к 0 (т. е.

equivalent of the o-notation defined below). эквивалентные о-обозначение определено ниже). In their book “Concrete В своей книге "Бетон

Mathematics”, Graham, Knuth, and Patashnik use the symbol “≺” in Математика ", Graham, Кнут, и Patashnik использовать символ" ≺ "в

the same sense. том же смысле. However, neither of these notation is very widespread. Тем не менее, ни одна из этих обозначений является очень распространенной.

• In numerical applications the value of an O-constant is important. • В приложениях численного значения О-постоянные имеет важное значение. One Один

notation that refines the O-notation by keeping track of constants is обозначений, уточняет O-обозначений, отслеживая констант

the θ-notation, which means the same as the O-notation with constant θ-нотацию, которая означает то же, O-обозначений с постоянным

c = 1. с = 1. For example, since |log(1+z)| ≤ ∑ Например, с | Журнал (1 + г) | ≤ Σ

∞ ∞

n=1 п = 1

|z| | Г |

n п

/n ≤ |z|/(1−|z|) ≤ / П ≤ | z | / (1 ​​- | z |) ≤

2|z| for |z| ≤ 1/2, we have, using the θ-notation, log(1 + z) = θ(2|z|) 2 | z | при | г | ≤ 1/2, имеем, используя θ-нотации, войти (1 + г) = θ (2 | г |)

for |z| ≤ 1/2. при | г | ≤ 1/2.

• The symbol “≈” is sometimes used with the same meaning as . • Символ "≈" иногда используется в том же значении, как.

However, more commonly, this symbol is used in an informal manner Однако, чаще всего, этот символ используется в неформальной обстановке

(eg, in heuristic arguments) to indicate that one quantity is “approx- (Например, в эвристических аргументов), чтобы указать, что одна величина "ок-

imately” equal to another quantity. мерно "равна другой величины.

2.1.7 The “small oh” notation and asymptotic equivalence 2.1.7 «малых ой" обозначения и асимптотической эквивалентности

The notation Обозначение

f(x) = o(g(x)) (x → ∞) F (X) = о (г (х)) (х → ∞)

means that g(x) = 0 for sufficiently large x and lim означает, что г (х) = 0 при достаточно больших х и Нт

x→∞ х → ∞

f(x)/g(x) = 0. F (X) / г (х) = 0.

If this holds, we say that f(x) is of smaller order than g(x). Если это имеет место, скажем, что F (X) имеет меньший порядок, чем г (х). This Это

is equivalent to having an O-estimate f(x) = O(g(x)) with a constant c эквивалентно тому, что O-оценку F (X) = O (г (х)) с постоянной с,

that can be chosen arbitrarily small (but positive) and a range x ≥ x , которая может быть выбрана сколь угодно малой (но положительной), а также ряд х ≥ х

0 0

(c) (С)

depending on c. в зависимости от с. Thus, an o-estimate is stronger than the corresponding Таким образом, о-оценку сильнее, чем соответствующая

O-estimate. O-оценки.

A closely related notation is that of asymptotic equivalence: Тесно связаны обозначения, что асимптотической эквивалентности:

f(x) ∼ g(x) (x → ∞) (х) д (х) (х → ∞)

Asymptotic Analysis Асимптотический анализ

2.9.2009 2.9.2009

Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009

Page 11 Page 11

2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ

19 19

means that g(x) = 0 for sufficiently large x and lim означает, что г (х) = 0 при достаточно больших х и Нт

x→∞ х → ∞

f(x)/g(x) = 1. F (X) / г (х) = 1. If Если

this holds, we say that f(x) is asymptotic (or “asymptotically equiva- это верно, мы говорим, что F (X) является асимптотическим (или «асимптотически эквивалент-

lent”) to g(x) as x → ∞. Пост "), чтобы г (х) при х → ∞. Just as an o-estimate refines the O-estimate, the Так же, как о-оценка уточняет O-оценки,

asymptotic equivalence relation f(x) ∼ g(x) refines the order of magnitude асимптотической эквивалентности е соотношение (х) д (х) уточняет порядок

estimate f(x) Оценка F (X)

g(x). г (х).

By an asymptotic formula for a function f(x) we mean a relation of По асимптотической формулы для функции F (X) мы имеем в виду отношения

the form f(x) ∼ g(x), where g(x) is a “simple” function. Форма F (х) д (х), где г (х) является «простой» функции.

In much the same way as the O-notation, the o-notation can be general- Во многом таким же образом, как и O-обозначений, O-обозначений может быть общего

ized to functions for complex variables, and to more general limits: If f(s) зуется к функциям комплексных переменных, а также более общие ограничения: если F (S)

and g(s) are functions of a real or complex variable s and s и G (S) являются функциями от действительного и комплексного переменного с и с

0 0

is a real or является реальным или

complex number or infinity, we write комплексное число или бесконечность, мы пишем

f(s) = o(g(s)) (s → s F (S) = O (G (S)) (S → S

0 0

), )

if the limit lim если существует предел

s→s S → S

0 0

f(s)/g(s) exists and is equal to 0, Asymptotic formulas F (S) / G (S) существует и равна 0, Асимптотические формулы

with respect to the limit s → s по отношению к пределу → S S

0 0

are defined analogously. Аналогично определяются.

It is important to keep in mind that the o-notation is always with respect Это важно иметь в виду, что о-обозначение всегда с уважением

to a given limiting process. для данного предельного процесса. If a limiting process is not explicitly given (in Если предельный процесс явно не дано (в

a form like “x → x Форма, как "X → X

0 0

”), the limit is usually understood to be taken as the »), Предел обычно понимается которые должны быть приняты в качестве

variable tends to infinity. переменная стремится к бесконечности.

In the same way as we have done with the O-notation, we allow o-terms Точно так же, как мы сделали с O-обозначений, мы позволяем о-терминов

to appear inside arithmetic expressions: a term o(g(x)) stands for a function появляться в арифметических выражениях: термин O (G (x)) обозначает функцию

f(x) that satisfies lim F (X), удовлетворяющую Ит

x→∞ х → ∞

f(x)/g(x) = 0 (but on which we have no further F (X) / г (х) = 0 (но по которым мы не имеем никакого дальнейшего

information). информации). With this convention the asymptotic formula f(x) ∼ g(x) is С этой конвенции асимптотической формулы F (х) д (х)

easily seen to be equivalent to either of the relations Легко видеть, что эквивалентно одному из отношений

f(x) = g(x) + o(g(x)) F (X) = д (х) + O (G (x))

or или

f(x) = g(x)(1 + o(1)). F (X) = д (х) (1 + о (1)).

Another related notation that is used, for example, in number theory, Другой связанный с обозначениями, которые используются, например, в теории чисел,

is the Ω-notation. является Ω-обозначение. This notation simply means the opposite of “small oh”: Эта запись означает просто противоположность «малых ой":

Namely, we write А именно, мы пишем

f(x) = Ω(g(x)) (x → ∞), F (X) = Ω (г (х)) (х → ∞),

if the relation f(x) = o(g(x)) is false, ie, if limsup если отношение F (X) = O (G (x)) является ложным, т. е. если Нтзир

x→∞ х → ∞

|f(x)/g(x)| > 0. | F (X) / г (х) |> 0.

Analogous definitions apply for the case of more general functions or limits. Аналогичные определения применяются в случае более общих функций и пределов.

For example, we have sinx = Ω(1) as x → ∞, and sinx = Ω(x) as x → 0. Например, у нас есть зт = Ω (1) при х → ∞, и зт = Ω (х) при х → 0.

Note that the relation f(x) = Ω(g(x)) is not equivalent to f(x) ≫ f(x). Отметим, что отношение F (X) = Ω (G (x)) не эквивалентно F (X) »F (X).

Indeed, the latter means that |f(x)| > c|g(x)| holds, with some positive Действительно, последнее означает, что | F (X) |> с | д (х) | имеет место, с некоторой положительной

constant c, for all sufficiently large x, whereas f(x) = Ω(g(x)) only requires константа с, для всех достаточно больших х, в то время как F (X) = Ω (г (х)) требуется только

this inequality to hold for arbitrarily large values of x. этого неравенства справедливы и для сколь угодно больших значений х.

Asymptotic Analysis Асимптотический анализ

2.9.2009 2.9.2009

Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009

Page 12 Page 12

20 20

CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ

2.1.8 O-estimates versus o-estimates 2.1.8 O-оценки по сравнению с о-оценки

An o-estimate is a qualitative, rather than quantitative, statement: f(x) = О-оценка является качественной, а не количественной, заявление: F (X) =

o(g(x)) simply means that the quotient f(x)/g(x) tends to 0 as x → ∞, о (г (х)) просто означает, что фактор F (X) / г (х) стремится к 0 при х → ∞,

but it says nothing about the rate of convergence. но это ничего не говорит о скорости сходимости. In almost all cases Почти во всех случаях

where o-estimates (or, equivalently, asymptotic formulas) are known, these где о-оценки (или, что эквивалентно, асимптотические формулы), как известно, эти

estimates arise as corollaries to more precise O-estimates: An O-estimate Оценки возникают как следствия более точную O-оценки: O-оценки

of the form f(x) = O(g(x)/ψ(x)) with some explicit function ψ(x) (such вида F (X) = O (г (х) / ψ (х)) с некоторой явной функции ψ (х) (такие

as ψ(x) = log x) that tends to infinity as x → ∞ implies the o-estimate как ψ (х) = Журнал х), стремится к бесконечности при х → ∞ следует, О-оценка

f(x) = o(g(x)) and provides more information. F (X) = о (г (х)) и предоставляет больше информации. The chief advantage of o- Главным преимуществом о-

estimates and asymptotic formulas is that they are easy to state and make оценки и асимптотические формулы является то, что они легко сформулировать и сделать

for clean and easy-to-remember theorems. для чистой и легко запоминающиеся теорем. However, in the course of proving Тем не менее, в ходе доказательства

such estimates, it is almost always advisable to carry the argument through такие оценки, то это почти всегда целесообразно проводить через аргумент

with O-estimates, and only at the very end, if necessary, make the transition с O-оценки, и только в самом конце, при необходимости, осуществить переход

to an o-estimate. на о-оценка. The main reason for this is that working with o-terms is Основной причиной этого является то, что работать с о-терминов

fraught with pitfalls, whereas O-terms can be manipulated fairly easily and чреват ловушек, в то время как O-терминов можно управлять довольно легко и

safely, as we will show below. безопасно, как мы покажем ниже.