2. Ряд и интеграл Фурье

Понятие о разложении периодических функций в ряд Фурье можно считать общеизвестным. Поэтому здесь напомним лишь основные соотношения и определения.

Всякая периодическая функция может быть представлены в виде разложения по тригонометрическим функциям:

, ,

, .

Величина выражает среднее значение функции за период и часто называется постоянной составляющей:

.

Ряд Фурье может также быть записан в комплексной форме:

Здесь ; ,

В приведенных формулах коэффициенты разложения имеют размерность исходной функции.

Для непериодических, абсолютно интегрируемых функций также применяя разложение по Фурье, устремив период Т к бесконечности и осуществив предельный переход от суммы к интегралу получаем:

.

Здесь выражает не непосредственно амплитуду, а так называемую спектральную плотность или, как обычно называют комплексный спектр непериодической функции, а ее абсолютное значение – просто спектром:

В заключение следует сказать, что размерность, как комплексного спектра, так и просто спектра равна размерности исходной функции поделенной на Гц.

3. Спектры некоторых периодических и непериодических функций

Спектральная плотность прямоугольного импульса определяется формулой:

, где - площадь импульса.

Спектральная плотность треугольного импульса

, где - площадь импульса

Спектральная плотность косинусоидального импульса

, где - площадь импульса.

Спектральная плотность колокольного импульса

Спектральные плотности всех вышеперечисленных импульсов являются действительными функциями.

Спектр затухающей синусоиды

Спектр импульса в форме отрезка синусоиды, состоящего из целого числа периодов п:

Спектр экспоненциального импульса

Очень часто импульсы определенной формы периодически повторяются. Установим связь между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности таких же импульсов. Наперед ясно одно: спектр одиночного импульса есть спектр сплошной, так как импульс есть непериодиче­ская функция. Если же импульс какой угодно формы пери­одически повторять, то мы получим периодическую функцию, обладающую дискретным гармоническим спектром.

Пусть спектр одиночного импульса есть

Если такой импульс повторять через промежутки време­ни Т, то получится периодическая функция с периодом Т. Коэффициенты линейчатого спектра этой функции могут быть получены по формуле

Сопоставляя эти формулы мы видим, что значения непрерывной функции S₀ совпадают со значениями C_k (с точностью до постоянного множителя 1/Т при определенных зна­чениях аргумента, а именно при

Таким образом, совокупность точек TC_k, определяющих дискретный спектр периодической последовательности импульсов, лежит на кривой , определяющей спектр одиноч­ного импульса.

Можно еще сказать, что линейчатый спектр периодиче­ской последовательности импульсов вписывается в кривую сплошного спектра одиночного импульса.

На этом примере легко проследить предельный переход от ряда к интегралу Фурье: если период повторения воз­растает, т. е. если импульсы повторяются все реже и реже, то точки, изображающие линейчатый спектр, оставаясь на кривой S₀, располагаются на ней все теснее, пока не обра­зуют непрерывную последовательность, т. е. кривую, совпа­дающую с S₀.

4. Аппаратура для получения процессов, имитирующих импульсные и периодические помехи.

Схема установки, обеспечивающая получение процессов, имитирующих импульсные и периодические помехи приведена на рис. 1 . Данная схема обеспечивает получение на сопротивлении R₁ следующих процессов:

- переменного несинусоидального напряжения, создаваемого нелинейными нагрузками (в основном люминисцентными лампами) учебного корпуса (в первом положении переключателя S₃);

- выпрямленного однополупериодного напряжения (во втором положении переключателя S₃) .

Рис. 1. Схема установки, обеспечивающая получение процессов, имитирующих импульсные и периодические помехи

Аппаратура для измерений.

В качестве основного прибора, предназначенного для проведения измерений параметров и формы процессов, имитирующих импульсные и периодические помехи принят осциллограф цифровой, запоминающий двухканальный типа АСК – 3106 (рис. 2). Данный прибор предназначен работать совместно с компьютером и укомплектован программным обеспечением двух типов:

- стандартная версия (АСК-3106-РО1);

- профессиональная версия (АСК-3106-РО5).

При выполнении данной работы использована профессиональная версия. Для ознакомления с порядком работы данного осциллографа необходимо ознакомиться с руководством по эксплуатации.

Рис. 2. Общий вид осциллографа цифрового, запоминающего двухканального типа АСК – 3106

Порядок выполнения работы.

1.Подключить кабель осциллографа к компьютеру;

2. Включить осциллограф;

3. Включить компьютер;

4. С помощью ярлыка на рабочем столе компьютера запустить программу математического обеспечения осциллогафа;

5. В разделе меню «Панели» открыть панели Управления, Измерений, Спектрального анализа.

7. На панели управления установить:

- канал А – разрешить отображение (установить птичку в окошке);

- входной диапазон сигнала по каналу А - 10 В/дел.

- установить нулевое смещение через меню Настройки-калибровка смещений;

- тип входа канала А - DC;

- канал В – запретить отображение (убрать птичку в окошке);

- в окне Запуск убрать птичку;

- в окне «режим» – однократный;

- в окнах «источник» – А, восход.

- в окне «выборки» - 1 кГц

8. Убедиться, что все переключатели на главной панели лабораторной установки находятся в нейтральном положении (положение «0»). Ручка автотрансформатора должна находиться в крайнем положении при вращении против часовой стрелки;

9. Переводом ключа из положения «0» в положение «1» включить лабораторную установку;

10. Переводом ключа из положения «0» в положение «1» подать напряжение на автотрансформатор;

11. К клеммам измерения напряжения автотрансформатора подключить мультиметр установленный на измерение переменного напряжения;

12. Установить с помощью автотрансформатора напряжение на его вторичной обмотке ;

13. Нажать кнопку «Запуск» на панели управления осциллографа на экране компьютера после чего на экране главной панели осциллографа появится изображение сигнала;

14. Выделяя на обзорном графике последовательно один, два и т.д. до 10 периодов с помощью панели спектрального анализа получить спектрограммы выделенных участков процесса.

На вкладке «Настройки» установить в окне «Отображать» - 50; в окне Мин. Индекс -0

Записать значения Основной частоты, Основного уровня, Постоянного уровня, коэффициента нелинейных искажений. Результаты занести в таблицу.

15. Снизить напряжение на автотрансформаторе до нуля.

16. Переводом ключа из положения «1» в положение «2» и подать напряжение на автотрансформатор;

17. Повторить пункты 12-14 применительно к сигналу однополупериодного выпрямления. Результаты измерений занести в таблицу.