2. Умовні середні. Кореляційна залежність

Введемо поняття умовної (групової) середньої.

Нехай вивчається зв’язок (див. Приклад 1) між випадковою величиною Y (масою тіла, кг) і випадковою величиною Х (довжиною тіла, см). Кожному значенню Х відповідає кілька значень Y.

Наприклад, при х₁=161см величина Y набула значень: у₁=46,0; у₂=47,3; у₃=49,9. Знайдемо середнє арифметичне цих значень: =(46,0+47,3+49,9):3=143,2:3 47,7. Число називають умовною середньою; риска над буквою «у» служить для позначення середнього арифметичного, а число 161 вказує, що розглядаються ті значення Y, які відповідають х₁=161. Отже, тлумачимо вище наведені дані так: довжині тіла 161см відповідає середня маса 47,7кг.

Умовною середньою називають середнє арифметичне значень Y, які відповідають значенню Х=х.

Якщо кожному значенню х відповідає єдине значення умовної середньої, то очевидно, умовна середня є функцією від х. В цьому випадку кажуть, що випадкова величина Y залежить від Х кореляційно.

Кореляційною залежністю Y від Х називають функціональну залежність умовної середньої від х: = f(х) (1)

Рівняння (1) називають рівнянням регресії Y на Х;

функцію f(х) називають регресією Y на Х;

графік цієї функції – лінією регресії Y на Х.

Аналогічно визначаються умовна середня і кореляційна залежність Х від Y.

Умовною середньою називають середнє арифметичне значень Х, які відповідають Y=y.

Кореляційною залежністю Х від Y називають функціональну залежність умовної середньої від у: = (у) (2)

Рівняння (2) називають рівнянням регресії Х на Y ;

функцію (у) називають регресією Х на Y;

графік цієї функції – лінією регресії Х на Y.

3. Дві основні задачі кореляційного аналізу

Перша задача теорії кореляції – визначити форму кореляційного зв’язку, тобто вид функції регресії (лінійна, квадратична, показникові, логарифмічна і т.д.)

Найчастіше функції регресії виявляються лінійними. Якщо обидві функції регресії f(х) і (у) лінійні, то кореляцію називають лінійною; в іншому випадку – нелінійною. Зрозуміло, що при лінійній кореляції обидві лінії регресії – прямі.

Друга задача теорії кореляції – оцінити тісноту (силу) кореляційного зв’язку.

Тіснота кореляційної залежності Y від Х оцінюється за величиною розсіювання значень Y навколо умовної середньої . Велике розсіювання значень свідчить про слабку залежність Y від Х чи про відсутність залежності. Мале розсіювання вказує на існування доволі сильної залежності; можливо навіть, що Y і Х пов’язані функціонально, проте під впливом другорядних випадкових факторів цей зв’язок виявився розмитим, і через це при одному і тому ж значенні х величина Y набуває різних числових значень. Аналогічно оцінюється тіснота кореляційного зв’язку Х від Y.

4. Методика кореляційного аналізу

Кореляцію між ознаками можна виявити різними способами. Якщо, наприклад, розташувати в зростаючому або спадному порядку значення однієї ознаки, то за відповідними значеннями другої вже буде видно, чи є зв’язок між ними, чи немає.

Більш наочне уявлення про форму і напрям кореляції дають кореляційні таблиці і графіки регресії. Два ряди відповідних значень ознак Х і Y можна зобразити, обравши зручний масштаб, графічно у вигляді точок в системі координат ХОУ. За розташуванням точок в системі координат можна зробити такі висновки:

1) якщо точки розсіяні хаотично, то зв’язок між Х і Y відсутній;

2) якщо точки розташовані вздовж деякої лінії (прямої чи кривої) або групуються у вигляді «хмарки», то зв’язок між ознаками є, і він тим тісніший, чим щільніше групуються точки;

3) якщо накреслити лінію, вздовж якої групуються точки, то вона покаже характер залежності: при зростаючому графіку матимемо пряму (додатну) кореляцію, при спадному – обернену (від’ємну).

За напрямом кореляція буває прямою (додатною) і оберненою (від’ємною).

При прямій кореляції зі збільшенням значень першої ознаки збільшуються відповідні значення другої.

При оберненій кореляції зі зменшенням першої ознаки відповідні значення другої збільшуються.

Наприклад, при більшій кількості тренувань збільшується довжина стрибка – пряма кореляція; при збільшенні кількості тренувань зменшується час, витрачений на подолання дистанції, – обернена кореляція.

Наведемо приклад графіка кореляційної залежності (Рис.1).

Приклад 1.

В таблиці зафіксовано відповідні значення довжини та маси тіла групи (n=20) студенток ІІ курсу. За цими даними побудовано графік, точки якого утворюють деяку «хмарку». Виходячи з аналізу розташування точок графіка, можна припустити, що маса і довжина тіла перебувають в деякій відповідності, наприклад, лінійній залежності (існують спеціальні математичні методи визначення типу графіка регресії). Тож приймемо модель лінійної кореляції.

Довжина тіла, Х (см)	156	159	160	161	161	161	163	165
Маса тіла, Y (кг)	45,5	46,1	44,9	46,0	47,3	49,9	49,0	53,9

(продовження таблиці)

165	165,5	165,5	166	167	169	170	170	172	173	174	165
50,5	50,5	57,2	48,5	53,5	52,0	47,1	59,0	58,1	53, 6	56,8	47,2

Для вимірювання ступеня спряженості між ознаками, які варіюють, існують параметричні та непараметричні показники. Вибір відповідного показника залежить від конкретних факторів.

Користуючись кореляційним аналізом, треба усвідомлювати, що зв’язок між ознаками і властивостями не є результатом математичних розрахунків, а лежить у природі самих явищ, тому необхідним є всебічний попередній аналіз цих явищ. Методи математичної статистики лише дають можливість об’єктивно виразити існуючі закономірності досліджуваних процесів. Крім того, кореляцію можна виявити, за умови дослідження достатньо великої сукупності спостережень.

Рис. 1

Кореляційно-регресійний аналіз включає три етапи:

1. математичне моделювання;

2. розв’язання прийнятої моделі шляхом знаходження параметрів рівняння регресії;

3. оцінка та аналіз отриманих результатів.