В бланк ответов: 0,5

Задание 8. Функция определена на интервале (-5;6). На рисунке изображен график функции . Найдите среди точек , , …, те точки, в которых производная функции равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

у

х

-5 6

Решение:

Три точки , , являются точками экстремума функции f и в этих точках существует производная , значит, в этих точках .

В бланк ответов: 3

Задание 8. На рисунке изображен график функции . Найдите среди точек , , , , и те точки, в которых производная функции положительна. В ответ запишите количество найденных точек.

у

х

Решение:

Если в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Этот признак выполняется для четырех точек: , , , .

В бланк ответов: 4

Задание 8. На рисунке изображен график функции . Найдите среди точек , , , , и те точки, в которых производная функции отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.

у

х

Решение:

Если в каждой точке интервала I, то функция убывает на I. Этот признак выполняется для двух точек: , .

В бланк ответов: 2

Задание 8. На рисунке изображен график функции и отмечены точки -7, -3, 1, 7. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

у

-7 -3 0 1 7 х

Решение:

Если в каждой точке интервала I, то функция убывает на I. Этот признак выполняется для точек 1, 7. Построение касательных в точках 0, 1, 7 позволяет увидеть, что , т.е. значение производной наименьшее в точке 7.

у

-7 -3 0 1 7 х

В бланк ответов: 7

З адание 8. На рисунке изображен график функции и отмечены точки -5, -3, 3, 7. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. у

-5 -3 0 3 7 х

Решение:

Если в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Этот признак выполняется для точек -5, 3. Построение касательных в точках -5, 3 позволяет увидеть, что , т.е. значение производной наибольшее в точке 3.

у

-5 -3 0 3 7 х

В бланк ответов: 3

В9. Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 15 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат – расстояние s в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в нуль (начало и конец движения не учитывайте).

s

s=s(t)

t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Решение:

Производная от координаты s(t) по времени есть скорость v(t). Восемь точек являются точками экстремума функции s и в этих точках существует производная , значит, в этих точках . В бланк ответов: 8

Задание 8. Материальная точка движется вдоль прямой от начального до конечного положения. На рисунке изображен график ее движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат – расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

Решение:

В бланк ответов: 1,8

Задание 8. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t - в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 64 м/с?

Решение:

Производная от координаты х(t) по времени есть скорость v(t), т.е.

v(t)= .

По условию задачи найти t при v(t) = 64 м/с. Составим уравнение:

= 64, t + 5 = , t + 5 = , t₁ = -13, t₂ = 3.

По смыслу задачи t > 0. Значит, при t = 3 скорость материальной точки была равна 64 м/с.

В бланк ответов: 3

y = x+b

Задание 8. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке . Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y = 2f(x) – 1 в точке .

у

y = f(x)

у = 1,5х + 3,5

х

0

Решение:

1) у = 1,5х + 3,5 – уравнение касательной к графику функции y = f(x) →

→ = 1,5 – значение производной функции y = f(x) в точке .

2) y = 2f(x) – 1 → 2 = 2∙1,5 = 3 – значение производной функции y = 2f(x) – 1 в точке .

В бланк ответов: 3

Задание 8. Функция определена на интервале (-5;6). На рисунке изображен график функции . Найдите среди точек , , …, те точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=6 или совпадает с ней.

у

-5 6 х

Решение:

1) Прямая у = 6 параллельна оси Ох. Следовательно, все касательные к графику функции y = f(x) также параллельны оси Ох, т. е. существует производная = 0.

2) Производная существует в трех точках , , .

В бланк ответов: 3

Задание 8. Функция определена на интервале (-3;5). На рисунке изображен график ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции , которые параллельны прямой у = 5х – 6 или совпадают с ней.

у

у =

1

х

-3 0 5

Решение:

1) у = 5х - 6 – уравнение прямой, с которой совпадают или параллельны ей касательные к графику функции y = f(x) → = 5 – значение производной функции y = f(x) в точке .

2) На графике этому значению производной, т.е. у = =5, соответствуют три значения х. Следовательно, существуют три касательных к графику функции , которые параллельны прямой у = 5х – 6 или совпадают с ней.

В бланк ответов: 3

Задание 8. Прямая у = - 4х – 11 параллельна касательной к графику функции у = х³ +7х²+7х – 6. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

у = - 4х – 11 – уравнение прямой, с которой параллельна касательная к графику функции у = х³ + 7х² + 7х – 6 → f''(х_о) = - 4 – значение производной функции у = х³ +7х²+7х – 6 в точке х_о.

Значит, (х³ +7х²+7х – 6)' = -4, 3х² +7·2x+7 = -4, 3х² +14х+7= -4, 3х² +14х +7 =-4, 3х² +14х+11= 0, D=14² – 4·3·11= 196 – 132= 64, х₁ = -1, х₂ = -22/6.

Ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь. Значит, -1 – искомая абсцисса точки касания.

Проверка.

Подставим полученные значения в оба исходных уравнения. Абсциссой точки касания будет та, при которой получим равные ординаты:

у(-1) = - 4(-1) – 11=4 -11= -7, у(-1) = (-1)³ +7(-1)²+7(-1) – 6 = -1+7-7- 6 = -7.

Получили равные ординаты.

у(-22/6) = - 4(-22/6) – 11≈, у(-22/6) = (-22/6)³ +7(-22/6)²+7(-22/6) – 6 ≈.

Очевидно, что получатся не только приближенные, но и неравные ординаты.

Таким образом, искомая абсцисса точки касания равна – 1.

В бланк ответов: - 1