Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

( рисунок смотри выше)

Дано:

- коэффициент подобия

Доказать, что

Доказательство:

Билет 12. Признаки подобия треугольников .( доказательство одного на выбор)

Существуют три признака подобия треугольников

Первый признак. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого , то такие треугольники подобны.

Я докажу первый признак подобия

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Д ано: ,

Доказать, что

Доказательство:

1 )

, значит,

Р авенство всех углов доказано.

2 ) Т.к , то площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы , т.е (1)

Т.к , то аналогично (2)

Т.к , то (3)

3 ) Приравням равенства (1) и (2) = и сократим на

, получим :

П риравнивая равенства (2) и (3) получим:

Значит, . Получили, что углы равны и стороны

пропорциональны , т.е треугольник подобны (по определению)

(если спросят, сказать)

О пределение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны , а сходственные стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

Т .е 1)

2)

Билет 13. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника»

• Средней линией треугольника, называется отрезок соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема:

• 

  Дано: MN- средняя линия

  Доказать: 1) MN||AC

  2) MN= AC

  N

  М

  С

  В

  А

  Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон, а её длина равна половине этой стороны.

Доказательство:

1. Рассмотрим MBN и ABC

<B- общий

, значит

MBN∞ ABC (по 2 признаку подобия треугольников),

2. Т.к. MBN ∞ ABC, то

<1=<2, и они называются соответственные значит

MN||AC (по 2 признаку параллельных прямых)

, значит 2MN=AC, MN=

Билет 14. Понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного

треугольника. Таблица основных углов с доказательством.

Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

С инусом острого угла прямоугольного треугольныка называется отношение противолежащего катета к гипотену

К осинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенсом острова угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету

Тангенсом острова угла прямоугольного треугольника называется отношение синуса к косинусу этого угла

Таблица основных углов

SinA
CosA
TgA

Докажу первый столбик таблицы

Если , то , т.к катет,

лежащий против угла в равен половине гипотенузы.

Итак, .

Найдём косинус по формуле:

Билет 15. Касательная к окружности. Свойство касательной. (Доказательство свойства касательной)

Определение: Прямая называется касательной к окружности если она имеет с окружностью одну общую точку.

Теорема .Свойства касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу проведенной точки касания.

Д ано: Окр (О,r=ОА) , р- касательная, А- точка касания

Доказать, что

Доказательство :

Доказательство:

Будем доказывать методом от противного . Предположим, что р не перпендикулярна ОА .В этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т. е. р – секущая. Но это противоречит условию теоремы, что р - касательная к окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что р не перпендикулярно ОА было неверным, значит, р перпендикулярна ОА.

Итак, касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Билет 16. Свойство отрезков касательных.(доказательство теоремы)

Теорема(Свойство отрезков касательных).Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Дано: АВ и АС – отрезки касательных

Доказать, что 1) АВ=АС 2) <1=<2

Доказательство:

Рассмотрим треугольник АВО и АСО. ОВ перпендикулярен АВ, а ОС – перпендикулярен АС(по свойству касательных). Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по катету и гипотенузе (ОВ=ОС – радиусы одной окружности, АО – общая гипотенуза ). Поэтому равны и их катеты АВ=АС и углы ОАС и ОАВ, т.е <1=<2

Билет 17. Центральный угол. Вписанный угол. Теорема о вписанном угле( с доказательством)

Центральным называется угол, вершина которого лежит в центре окружности

(Центральный угол измеряется дугой, ан которую он опирается).

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности , а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается

Дано: <ABC- вписанный

Доказать, что

Доказательство: