1.1 Исследование взаимосвязанных динамических рядов

Под взаимосвязанными динамическим рядами понимают такие ря­ды, в которых уровни одного ряда определяют в какой-либо степени уровни другого ряда. Например, ряд уровней расходов на техническое обслуживание КСр оказывает влияние на частоту отказов, ряды уровней температуры и влажности воздуха в сооружении РКК - на показатели свойств КСр и т.д.

Если Y₁ и Y₂ представляют собой динамические ряды, то следует ус­тановить: 1) являются ли эти ряды взаимосвязанными; 2) если являются, то определить, как быстро изменения одного ряда приводят к изменению дру­гого ряда.

Мера зависимости между рядами динамики Y_1t (t = 1, T) и Y_2t (t = 1, T), или Y₁ и Y₂, где t = 1, 2,...T - единица времени (секунда, минута, час, сутки и т.д.), Т - длина динамического ряда, характеризуется эмпирическим коэф­фициентом корреляции

( 58 )

Средние значения и средние квадратические отклонения динамиче­ских рядов определяются по формулам соответственно

( 59 )

( 60 )

Если = 0,8 - 0,9, то независимо от вида связи (линейная, нели­нейная), она достаточна тесна для того, чтобы исследовать ее форму.

Совпадение общих тенденций во взаимосвязанных временных рядах, чаще всего, зависит не от взаимной связи, а от прочих неучитываемых фак­торов. С целью исключения влияния автокорреляции в самих рядах дина­мики предварительно необходимо освободится от их тенденций, после чего анализ взаимосвязи проводится по отклонениям от трендов.

Оценка степени взаимосвязи отклонений в динамических рядах про­изводится расчетом коэффициента корреляции

, ( 61 )

где - отклонения от тенденций по рядам Y_1i и Y_2i соответственно;

y_{1f ,} y_2f - тенденции (тренды) рядов;

- средние квадратические отклонения, определяемые по вели­чинам

Выдвигается гипотеза, что увеличение (уменьшение) ряда Y₂ в зави­симости от изменений ряда Y₁ в большей мере может проявиться в после­дующих периодах.

Для проверки данной гипотезы производится расчет коэффициентов корреляции между отклонением ряда Y₁ в t-ой единице времени и отклоне­нием ряда Y₂ в (t+i)-ой единице времени

( 62 )

где i – 0,1, … - временной сдвиг.

При i = 0 формула ( 62 ) преобразуется в формулу ( 61).

Последовательность величин r_i ( i = 0, 1,...) выражает поведение так называемой нормированной взаимнокорреляционной функции.

Интервал временного сдвига, соответствующий максимальной кор­реляции отклонений от тенденций, называется временным лагом или ла­гом. Физический смысл лага заключается в следующем, если в какой-то момент времени были привлечены (или изъяты) дополнительные ресурсы, то их максимальная отдача (или ущерб) проявится через интервал, равный лагу.

Задачи исследования взаимосвязанных динамических рядов:

• установить наличие взаимосвязи между динамическими рядами;

• провести анализ влияния показателей одного свойства на показа­тели другого свойства;

• определить временной лаг, соответствующий максимальному влиянию одного ряда на другой.

Исследование взаимосвязанных динамических рядов покажем на конкретном примере.

Пример. Для динамических рядов Y₁ и Y₂ (таблица 1) устано­вить наличие взаимосвязи и рассчитать величину временного лага.

Алгоритм исследования (расчета):

1) расчет средних значений динамических рядов по формулам лам(59);

2) расчет средних квадратических отклонений динамических рядов по формулам ( 60 ) σ_Y1 = 10,92 и σ_Y2= 12,04;

3) расчет коэффициента корреляции по формуле ( 58 ) r_Y1/Y2 = 0,9832. Вывод: между рядами существует достаточно тесная связь;

4) построение графиков самих рядов и их трендов (рисунок 3). Значения уравнений тренда для соответствующих моментов времени при­ведены в таблице 1;

5) расчет отклонений ε_t и ξ_t и их средних квадратических отклонений (таблица 1);

6) расчет произведений отклонений ε_t ξ_t-i , где i - временной сдвиг, (таблица 1);

7) расчет коэффициентов корреляции r_t по формуле ( 62 ). По­строение графика зависимости коэффициентов корреляции r_t от интервала временного сдвига i (рисунок 4).

9)Определение ла 8) Определение лага на основании анализа рисунка 1 (лаг равен 4 ед.времени).

10) Построение графика зависимости Y₂ и Y₁ и расчет по методу наименьших квадратов коэффициентов уравнения регрессии между ними

(рисунок 5)

Y₂= 1,0845Y₁ + 8,6457. ( 63 )

Рисунок 3 - Динамические ряды Y₁, Y₂ u их тренды Y_1f , Y_2f

Временной сдвиг i

Рисунок 4 - График зависимости от временного сдвига

5 10 15 20 25 30 35 40 45

Рег Рисунок 5 – График регрессионной зависимости между Y₂ и Y₁

Таблица 1 - Расчет взаимосвязанных динамических рядов

Исходные данные
t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y1t	8,7	12,0	15,5	19,6	23,9	26,9	30,0	34,0	37,7	40,7	y1t=24,9; Y1=10,92
y2t	15,7	23,4	27,4	31,5	35,36	34,48	37,68	47,36	50/4	53,26	y2t=36,6;σY1 =12,04
Последовательность и результаты расчетов
rY1 / Y2	0,9832
y1f	8,68	12,29	15,89	19,49	23,10	26,70	30,31	33,91	37,51	41,12
y2f	18,06	21,97	25,88	29,79	33,70	37,60	41,51	45,42	49,33	53,24
εt	0,02	-0,29	-0,39	0,11	0,80	0,20	-0,31	0,09	0,19	0,42	σε= 0,352
ξt	-2,38	1,41	1,52	1,71	1,66	-3,12	-3,83	1,94	1,07	0,02	σξ= 2,122
εtξt-0	-0,039	-0,404	-0,594	0,181	1,334	-0,619	1,17	0,176	0,201	-0,01	∑(εtξt-0 )= 1,396
εtξt-1	0,023	-0,437	-0,669	0,175	-2,505	-0,759	-0,59	0,097	0,004		∑(εtξt-1 ) = -4,662
εtξt-2	0,025	-0,492	-0,650	-0,329	-3,073	0,384	-0,32	0,002			∑(εtξt-2) = -4,460
εtξt-3	0,028	-0,478	1,221	-0,404	1,556	0,212	-0,07				∑(εtξt-3 ) = 2,128
εtξt-	0,027	0,897	1,498	0,205	0,860	0,005					∑(εtξt-4 ) = 3,491
εt ξt	-0,051	1,101	-0,758	0,113	0,019						∑(εtξt-5 ) = 0,424
i	0	1	2	3	4	5
ri	0,1868	-0,6935	-0,7464	0,4069	0,7790	0,1134

Приложение А

(справочное)

Распределение Стьюдента. Значения t ( P, k )

				,	к)
P k	Р	0,90		0,95		0,99
1		6,314		12,706		63,657
2		2,920		4,303		9,925
3		2,353		3,182		5,841
4		2,132		2,776		4,604
5		2,015		2,571		4,032
6		1,943		2,447		3,707
7		1,895		2,365		3,499
8		1,860		2,306		3,355
9		1,833		2,262		3,250
10		1,812		2,228		3,169
11		1,796		2,201		3,106
12		1,782		2,179		3,055
13		1,771		2,160		3,012
14		1,761		2,145		2,977
15		1,753		2,131		2,947
16		1,746		2,120		2,921
17		1,740		2,110		2,898
18		1,734		2,101		2,878
19		1,729		2,093		2,861
20		1,725		2,086		2,845
30		1,697		2,042		2,750
40		1,684		2,021		2,704
50		1,676		2,008		2,677
100		1,660*-		1,984		2,626