Примеры решения задач

Задача 1.

Найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

б)

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно :

Из последнего уравнения находим :

Задача 2.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли функция четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме .

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах и . В точке функция терпит разрыв второго рода.

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда – четная функция) или (для нечетной функции) для любых х и –х из области определения функции:

.

Следовательно, и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

.

при и – не существует при . Тем самым имеем две критические точки: . Но точка не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): , .

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, – точка минимума.

На рис. 5 знаками +, – указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками – возрастание и убыва­ние исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и ин­тервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

.

при и – не существует при . Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6): , . На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку меняет свой знак, поэтому – абсцисса точки перегиба.

Следовательно, – точка перегиба графика функции.

6. – точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

.

Тогда

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя. Значит прямая есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.