3.2 Алгебраические критерии устойчивости
3.2.1 Необходимое условие устойчивости
Необходимым условием устойчивости линейной непрерывной АС является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, т.е.
a1>0, a2>0, …, an-1>0, an>0, если а0>0.
В случае отрицательности всех коэффициентов, то есть при аi < 0, можно поменять знаки всех коэффициентов на обратные.
Однако в общем случае положительность коэффициентов характеристического уравнения не является достаточной для устойчивости системы. Можно доказать, что только для линейных непрерывных АС первого и второго порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным.
У устойчивой линейной дискретной АС коэффициенты ХП могут иметь разные знаки.
3.2.2 Критерий Гурвица
Для
оценки устойчивости критерием Гурвица
из коэффициентов характеристического
уравнения A(l)
=
aоln+a1ln-1+¼+an-1l+an
=
0
формируют
матрицу Гурвица Dn
по
следующему правилу: по главно
й
диагонали слева направо выписывают все
коэффициенты от a1
до an
в порядке
возрастания индексов. Остальные элементы
определителя Δn
заполняются по столбцам. Вверх от главной
диагонали размещаются коэффициенты с
последовательно возрастающими индексами
до коэффициента an,
а вниз от нее – коэффициенты с
последовательно убывающими индексами
до коэффициента a0.
Оставшиеся места определителя заполняются
нулями.
Для устойчивости линейной непрерывной АС необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица (то есть диагональные миноры Di) имели знаки, одинаковые со знаком aо, т.е. при aо > 0 были положительными:
D1
= a1 > 0, D2
=
> 0, D3
=
> 0,…, Dn
> 0.
Обычно критерий Гурвица используется при n ≤ 4.
Для линейной дискретной АС алгебраические условия устойчивости гораздо сложнее. Пусть её ХП имеет вид
.
В аналитическом виде условия устойчивости
для
первых четырех порядков выглядят
следующим образом:
- полином первого порядка a1 z+a0=0;
a1+a0>0; a1-a0>0;
- полином второго порядка a2 z2+a1 z+a0=0;
a2+a1+a0>0; a2-a1+a0>0; a2-a0>0;
- полином третьего порядка a3 z3+a2 z2+a1 z+a0=0;
a3+a2+a1+a0>0; a3-a2+a1-a0>0;
a3(a3-a1)-a0(a0-a2)>0; 3(a3+a0)-a2-a0>0;
- полином четвёртого порядка a4 z4+a3 z3+a2 z2+a1 z+a0=0;
a4+a3+a2+a1+a0>0; a4-a3+a2-a1+a0>0;
(a4-a0)[a3(a1-a3)-(a2-a4-a0)(a4-a0)]+a4(a1-a3)2>0;
2(а4-a0)+(a1-a3)>0;
2(а4-a0)+(a3-a1)>0.
3.3 Частотные критерии устойчивости
3.3.1 Критерий Михайлова
Пусть передаточная функция (ПФ) W(s) системы n-го порядка представляет собой отношение полиномов от s:
.
Произведём подстановку s = jw в знаменатель ПФ. При изменении частоты w вектор A(jw), изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова.
Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор А(jw) кривой Михайлова при изменении частоты w от 0 до +¥ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол πn/2, где n-порядок характеристического уравнения А(l)=0.
3.3.2 Критерий Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы
Wр(jw) = B(jw)/A(jw).
Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то и замкнутая система будет устойчивой, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку (−1, j0).
Рисунок 3 - Графическая интерпретация критерия Найквиста
Достоинством критерия Найквиста является применимость его тогда, когда АФЧХ разомкнутой АС получена экспериментальным путем.
Для расчётных целей существуют обобщения критерия Найквиста на случай, когда разомкнутая АС является неустойчивой (например, содержит интегрирующие звенья или уравнение A(s) = 0 имеет положительные корни). Дело в том, что экспериментально у таких АС ЧХ снять невозможно.
3.3.3 Запас устойчивости..
Запас устойчивости по фазе определяют
как величину угла
для частоты ωс, при которой
,
по амплитуде – как величину отрезка
абсцисс h, заключённого между
критической точкой (-1; j0) и АФЧХ.
