Теорема про згортку.

Спектр згортки двох сигналів дорівнює добутку спектрів цих сигналів.

Тобто, якщо:

то його спектр .

Спектр добутку сигналів дорівнює згортці спектрів цих сигналів, з точністю до нормуючого множника.

Тобто, якщо:

то його спектр .

1. Неперервність.

Спектр , а також його модуль і аргумент є неперервними (або кусково неперервними) функціями частоти.

2. Періодичність.

Спектр , а також його модуль і аргумент є періодичними функціями частоти з періодом рівним частоті дискретизації . Частина спектру, розташовані в основній смузі частот , називається основним спектром.

3. Спектр дійсного сигналу.

Я

Це випливає з означень модуля та аргументу та формули Ейлера.

кщо - дійсний сигнал, то його амплітудний спектр (модуль комплексного спектру) – парна функція частоти, а фазовий спектр (аргумент) – непарна:

;

.

Іншими словами, амплітудний спектр дійсного сигналу є симетричний відносно осі координат, а фазовий – дзеркально відображений від початку координат.

4. Лінійність.

Якщо дискретний сигнал складається з лінійної комбінації сигналів:

то його спектр дорівнює лінійній комбінації спектрів даних сигналів:

5. Зсув спектру (перенос, зміщення).

Множення дискретного сигналу на комплексну експоненту приводить до зсуву його спектру по осі частот вправо на величину .

Це зручно відображати таким чином

Спростивши позначення : ;

Аналогічно, множення дискретного сигналу на комплексну експоненту приводить до зсуву його спектру по осі частот вліво на величину .

;

Дана властивість доводиться прямою підстановкою нового сигналу у формулу перетворення Фур’є.

В обох випадках і модуль і аргумент спектра комплексного сигналу втрачає властивості парності і непарності, відповідно.

6. Спектр затриманого сигналу.

Затримка сигналу на m відліків (тобто зсув вхідного сигналу вправо по часовій осі) приводить до множення його спектру на комплексну експоненту .

Це зручно відображати таким чином

Спростивши позначення : ; .

Зауважимо, що затримка сигналу приводить до зміни лише фазового спектра (аргументу), який отримує лінійний приріст .

7. Рівність (теорема) Парсеваля

Ця теорема встановлює зв’язок між енергією дискретного сигналу, обчисленою у часовій та у частотній областях.

Перш за все, дамо визначення енергії та потужності сигналу.

Енергія та потужність – це кількісні характеристики сигналу, які дозволяють оцінити вплив цього сигналу протягом визначеного часу, або усереднено.

Якщо, - довільний сигнал, то його енергія визначається:

для неперервного випадку: для дійсних сигналів

для дискретного випадку:

Потужність сигналу визначається виразом (для неперервного випадку):

М

Дані параметри ще називають питомою енергією та питомою потужністю.

иттєва потужність:

Середня потужність , тобто .

Т – тривалість сигналу.

Енергія сигналу може бути скінченою або нескінченою. Так, довільний сигнал скінченої тривалості буде мати скінчену енергію (якщо він не містить дельта функцій або нескінчених гілок), а довільний періодичний сигнал – навпаки – має нескінчену енергію.

Якщо енергія сигналу нескінчена, то можна визначити середню потужність цього сигналу на всій часовій осі:

Якщо сигнал періодичний з періодом Т, то у формулі потужності lim упускається.

Корінь квадратний з середньої потужності дає середньоквадратичне (діюче) значення сигналу:

.

Виходячи з приведених означень, формулюємо теорему (рівність) Парсеваля.

.

Якщо обробка сигналу проводиться в частотній області, ця рівність дозволяє обчислити енергію сигналу безпосередньо за його амплітудним спектром, не виконуючи обернене перетворення Фур’є.