Варіанти завдань 3 для самостійної роботи.

3.1. З п’яти стрільців два влучають у мішень з ймовірністю 0,6; а три – з ймовірністю 0,4 а) Що ймовірніше: влучить у мішень навмання вибраний стрілець, чи ні? б) Навмання вибраний стрілець не влучив у мішень? Що ймовірніше: належить він до перших двох, чи до трьох останніх?

3.2. Для того, щоб здати іспит, студенти повинні підготувати 30 питань. З 25 студентів 10 підготували всі питання, 8 – 25 питань, 5 – 20 питань і 2 – 15 питань. а) Яка ймовірність того, що викликаний навмання студент відповість на поставлене питання? б) Викликаний студент відповів на питання? Яка ймовірність того, що цей студент підготував всі питання; підготував тільки половину питань?

3.3. Підкидають монету. Якщо випаде герб, то виймають одну кулю з першої урни. Якщо ж випаде цифра, то виймають кулю з другої урни. У першій урні знаходяться 1 біла і 3 червоні кулі. У другій урні є 3 білі і 1 червона кулі. а) Яка ймовірність того, що вийнята куля червона? б) Яка ймовірність того, що кулю вийнято з першої урни, якщо вона виявилась червоною?

3.4. З двадцяти стрільців четверо влучають у мішень з ймовірністю 0,9, десять – з ймовірністю 0,7 і шестеро – з ймовірністю 0,5. а) Знайти ймовірність того, що навмання вибраний стрілець влучить у мішень.

б) Навмання вибраний стрілець влучив у мішень. Яка ймовірність того, що він належить до третьої групи стрільців?

3.5. Страхова компанія поділяє застрахованих на три класи ризику: І клас – малий ризик, ІІ клас – середній ризик і ІІІ клас – великий ризик. Серед клієнтів компанії 50% відносяться до першого класу ризику, 30% - до другого і 20% - до третього. Ймовірність того, що компанії прийдеться виплачувати страхове винагородження клієнтам першого класу ризику, дорівнює 0,01; другого – 0,03 і третього – 0,08. Яка ймовірність того, що: а) застрахований отримає грошове винагородження за термін страхування; б) застрахований, що отримав грошове винагородження, відноситься до групи малого ризику?

3.6. Супермаркет отримує вироби від трьох фірм у відношенні 5:8:7. Серед продукції першої фірми стандартні вироби складають 90%, другої – 85% і третьої – 75%. Знайти ймовірність того, що: а) придбаний покупцем виріб виявиться нестандартним; б) придбаний покупцем виріб виявився стандартним. Яка ймовірність того, що цей виріб виготовлений третьою фірмою?

3.7. У кожній з трьох урн знаходяться по 6 чорних і 4 білі кулі. З першої кулі навмання вийняли одну кулю і переклали до другої, після чого з другої урни вийняли навмання одну кулю і переклали до третьої. Знайти ймовірність того, що вийнята з третьої урни куля - біла.

3.8. У групі з десяти студентів, що прийшли на іспит, 3 підготували двадцять питань з 20, 4 підготували 16 з 20 питань, 2 – 10 з 20 питань і 1 – 5 питань з 20. Викликаний навмання студент відповів на три довільно задані питання. Знайти ймовірність того, що цей студент: а) підготував всі питання; б) підготував 5 питань.

3.9. В першій урні знаходяться дев’ять чорних і одна біла кулі, у другій – одна чорна і п’ять білих куль. З кожної урни навмання забрали по одній кулі, а ті, що залишились, висипали у третю (пусту) урну. Знайти ймовірність того, що куля, взята з третьої урни, буде біла.

3.10. Продукцію, яку виготовляють на підприємстві, перевіряють 2 контролери, причому, перший контролер перевіряє 55% виробів, а другий – 45%. Ймовірність того, що перший контролер недогляне нестандартний виріб, дорівнює 0,01, а другий – 0,02. а) Яка ймовірність того, що взятий навмання виріб буде нестандартний? б) Взятий навмання виріб виявився нестандартним? Яка ймовірність того, що цей виріб перевіряв другий контролер?

3.11. В першій з двох урн є 3 білі і 4 чорні кулі, а у другій – 2 білі і 3 чорні. З першої урни до другої перекладають навмання 2 кулі, а потім з другої урни виймають одну кулю. Який склад перекладених куль найймовірніший, якщо куля, вийнята з другої урни, виявилась білою?

3.12. В першій урні 5 білих і 3 чорні кулі, у другій – 2 білі і 4 чорні. З першої до другої урни перекладають навмання 2 кулі. Після цього з другої урни беруть 2 кулі. а) Яка ймовірність того, що ці кулі різного кольору? б) З другої урни взято дві кулі різного кольору? Які кулі найймовірніше були перекладені з першої до другої урни?

3.13. Група студентів складається з чотирьох відмінників, шести, що навчаються добре, і двадцяти, які навчаються як-небудь. Відмінники на іспиті можуть отримати тільки відмінні оцінки; ті, що навчаються добре, можуть отримати відмінні і добрі оцінки, ті, що навчаються як-небудь можуть отримати з однаковою ймовірністю добрі, задовільні і незадовільні оцінки. Для відповіді навмання викликали студента.

а) Знайти ймовірність того, що студент отримає відмінну або добру оцінку. б) Викликали студента і він отримав добру оцінку. З якої групи найймовірніше цей студент?

3.14. З двадцяти студентів, що прийшли на іспит, 8 підготувались відмінно, 6 – добре, 4 – посередньо і 2 – погано. В екзаменаційних білетах є 40 питань. Студент, що підготувався відмінно, знає відповіді на всі питання; що підготувався добре – на 35 питань, посередньо – на 15 питань і погано – на 10 питань. Студент, якого викликали, відповів на три питання. Знайти ймовірність того, що цей студент:

а) підготувався добре; б) погано.

3.15. Три дочки – Катя, Марина і Оля – мають обов’язок у сім’ї – мити посуд. З-за того, що Катя найстарша, вона виконує 40% роботи. Решту – 60% роботи - виконують Марина і Оля порівну. Якщо миє посуд Катя, то ймовірність того, що вона розіб’є тарілку, дорівнює 0,02. Для Марини і Олі ці ймовірності такі: 0,03 і 0,04. Батьки не знають, хто мив посуд, але вони почули дзвін розбитої тарілки. Яка ймовірність того, що мила посуд Катя? Марина? Оля?

3.16. Число грузових автомашин, які проїжджають по шосе, де стоїть бензоколонка, відносяться до числа легкових автомашин, що теж проїжджають по шосе, як 3:2. Ймовірність того, що грузова автомашина буде заправлятися бензином, дорівнює 0,1; для легкової автомашини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхала машина. Знайти ймовірність того, що це грузова машина.

3.17. З першого верстату поступає 40% деталей, з другого – 30%, з третього – 20% і з четвертого – 10%. Серед деталей, які випускає перший верстат, 2% бракованих; другий – 1%, третій – 0,5%, четвертий – 0,2%. а) Знайти ймовірність того, що деталь, виготовлена одним з верстатів, бракована. б) Виявлено, що деталь бракована. З якого верстата вона найймовірніше поступила?

3.18. В першій бригаді 8 робітників мають третій розряд і 6 – четвертий. В іншій бригаді 5 робітників мають третій розряд і 5 – четвертий. З першої до другої бригади перевели двох робітників.

а) Знайти ймовірність того, що два робітники, взяті навмання з другої бригади, мають третій розряд. б) Виявилось, що з другої бригади взяли двох робітників з третім розрядом. Яка ймовірність того, що з першої до другої бригади перевели двох робітників: з четвертим розрядом; з третім розрядом; один четвертого і один третього розрядів?

3.19. Перший цех випускає 40% всієї продукції заводу, а другий – 60%. В середньому 9 одиниць з 1000 одиниць продукції першого цеху виявляються браком, а другого – 2 одиниці з 500. Якась одиниця продукції, яку вибрали випадково для контролю, виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її було вироблено другим цехом; першим цехом?

3.20. Чотири стрільці незалежно один від одного стріляють у одну і ту ж мішень. Ймовірність влучення для кожного з них відповідно дорівнює: 0,4, 0,6, 0,7, 0,8. Після того, як стрільці вистрілили у мішень по одному разу, виявилась, що у мішені є три пробоїни. Знайти ймовірність того, що не влучив у мішень четвертий стрілець.

3.21. До спеціалізованої лікарні приймають в середньому 50% хворих на хворобу К, 30% - на хворобу L, 20% - на хворобу М. Ймовірність повного вилікування хвороби К дорівнює 0,7, хвороб L і М ці ймовірності дорівнюють відповідно 0,8 і0,9. Хворий, що пройшов лікування, виписався здоровим. Знайти ймовірність того, що він хворів хворобою К.

3.22. Робітник обслуговує три верстати, на яких обробляють однотипні деталі. Ймовірність браку для першого верстату дорівнює 0,02; для другого – 0,03; для третього – 0,04. Оброблені деталі складають в один ящик. Продуктивність праці першого верстата у три рази вища, ніж другого, а третього – у два рази менша, ніж другого.

а) Знайти ймовірність того, що навмання взята з ящика деталь бракована. б) Деталь, яку взяли з ящика, виявилась бракованою. Знайти ймовірності того, що деталь оброблено на першому, другому і третьому верстатах.

3.23. Є 25 екзаменаційних білетів, кожний з них має 2 питання. Студент знає відповіді тільки на 30 питань (з 50). а) Знайти ймовірність того, що студент здасть іспит, якщо для цього достатньо відповісти на 2 питання з білета, або на одне питання з білета і одне додаткове питання. б) Студент здав іспит. Знайти ймовірності того, що йому попав білет з питаннями, які він знав.

3.24. На базу поступили швейні вироби, з яких 20% виготовлено фабрикою №1, 30% - фабрикою №2 і 50% - фабрикою №3. Ймовірність того, що виріб фабрики №1 має перший сорт, дорівнює 0,7; а для фабрик №2 і №3 ймовірності дорівнюють відповідно 0,8 і 0,9.

а) Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб буде виробом першого сорту. б) Взятий виріб – першого сорту. З якої фабрики найймовірніше поступив цей виріб?

3.25. У відділі А працюють 5 інженерів і 3 старших інженери, а у відділі В – 8 інженерів і 2 старших інженери. З відділу А до відділу В перевели одного співробітника. а) Знайти ймовірність того, що з 3^x співробітників, яких вибрали з нового складу відділу А, всі три – старші інженери. б) Знайти ймовірність того, що з відділу А у відділ В перевели старшого інженера; інженера.

3.26. У трьох урнах є білі і чорні кулі. В першій урні – 2 білі і 3 чорні кулі, у другій – 2 білі і 2 чорні кулі, у третій – 3 білі і 1 чорна. З першої урни перекладають одну кулю у другу; потім з другої урни одну кулю перекладають у третю, і, насамкінець, з третьої урни перекладають одну кулю у першу. а) Який склад куль у першій урні після проведених операцій буде найймовірніший? б) Знайти ймовірність того, що у всіх урнах склад куль не зміниться.

3.27. Є десять монет, причому одна з них має з обох боків герби, а інші монети звичайні. Навмання вибрану монету не розглядаючи підкидають десять разів. В результаті цих підкидань отримаємо випадання 10 гербів. Знайти ймовірність того, що було вибрано монету з двома гербами.

3.28. Для переливання крові необхідно враховувати групу крові донора і хворого. Людині, яка має четверту групу крові, можна перелити кров будь-якої групи; людині, що має другу або третю групу крові, можна переливати кров або тієї ж групи, або першої; людині з першою групою крові можна переливати тільки кров першої групи. Серед населення 33,7% людей мають першу, 37,5% - другу; 20,9% - третю і 7,9% - четверту групу крові. а) Знайти ймовірність того, що випадково вибраному хворому можна перелити кров випадкового взятого донора. б) Знайти ймовірність того, що переливання крові можна здійснити, якщо є 2 донори, 3 донори.

3.29. Агентство з страхування автомашин поділяє водіїв на 3 класи: клас (мало ризикує), (ризикує посередньо), клас (дуже ризикує). Агентство вважає, що з усіх водіїв, що застрахували автомашини, 30% належать до класу , 50% - до класу і 20% - до класу . Ймовірність того, що протягом року водій класу попаде хоча б один раз в аварію, дорівнює 0,01. Для водія класу ця ймовірність дорівнює 0,02; а для водія класу - 0,08.

Водій А застрахував свою машину і протягом року попав в аварію. Яка ймовірність того, що він відноситься до класу , класу , класу ?

3.30. На фабриці виготовляють гвинти. Перша машина виготовляє 25%, друга – 35% і третя – 40% усіх виробів. Частка браку продукції цих машин складає відповідно 5%, 4% і 2%. а) Яка ймовірність того, що навмання взятий гвинт бракований? б) Навмання взятий гвинт виявився бракованим. Яка ймовірність того, що його виготовлено першою, другою, третьою машинами?

3.31. У рибалки є три улюблені місця для лову риби, які він відвідує з однаковою ймовірністю Якщо він закидає вудку на першому місці, то риба клює з ймовірністю 0,7; на другому місці – з ймовірністю 0,65; на третьому місці – з ймовірністю 0,75. Відомо, що рибалка, вийшовши на лов риби, три рази закинув вудку і риба клюнула тільки один раз. Знайти ймовірність того, що він ловив рибу на першому місці.

3.32. Завод виготовляє вироби, кожен з яких з ймовірністю 0,02 має дефект. В цеху виріб з однаковою ймовірністю оглядає один з двох контролерів. Перший контролер виявляє дефект з ймовірністю 0,85, а другий – з ймовірністю 0,9. Якщо в цеху виріб не забраковано, то він поступає до ОТК заводу, де дефект, якщо він є, виявляють з ймовірністю 0,95. Відомо, що виріб забраковано. Знайти ймовірність того, що його забраковано: а) першим контролером; б) другим контролером; в) ОТК заводу.

3.33. Пасажир може купити білет в одній з трьох кас. Ймовірності звернення в кожну касу залежить від їх місцезнаходження і дорівнюють відповідно 0,3; 0,5 і 0,2. Ймовірності того, що білети до приходу пасажира будуть розпродані, дорівнюють відповідно 0,6, 0,8 і 0,7. Пасажир підійшов до однієї з кас і купив білет. Знайти ймовірність того, що це була перша каса.

3.34. Прилад складається з двох дублюючих один одного вузлів і може випадково працювати у двох режимах: сприятливому і несприятливому. В сприятливому режимі надійність кожного вузла дорівнює 0,9, а в несприятливому – 0,7. Ймовірність того, що прилад буде працювати у сприятливому режимі, дорівнює 0,6, у несприятливому – 0,4. Знайти повну надійність приладу.

3.35. В автобусі їдуть 6 пасажирів. На наступній зупинці може вийти кожен з цих пасажирів з ймовірністю 0,2. Крім того, на зупинці в автобус може ввійти один новий пасажир з ймовірністю 0,3 або може не ввійти з ймовірністю 0,7. Знайти ймовірність того, що, коли автобус відійде від наступної зупинки, в ньому, як і раніше, буде 6 пасажирів.