Статистичний аналіз результатів імітації

В аналізі стохастичних процесів важливе значення мають статистичні взаємозв'язки між випадковими величинами. За кількісну характеристику подібних взаємозв'язків у статистиці використовують два показники: коваріацію та кореляцію.

Коваріація та кореляція

Коваріація виражає ступінь статистичної залежності між двома безлічами даних і визначається з наступного співвідношення:

де: X, Y — множини значень випадкових величин розмірності m;

M(X) — математичне очікування випадкової величини Х;

M(Y) — математичне очікування випадкової величини Y.

Як випливає з (4), позитивна коваріація спостерігається у випадку, коли більшим значенням випадкової величини Х відповідають більші значення випадкової величини Y, тобто між ними існує прямий взаємозв'язок.

Рис. 15 — Результати аналізу (шаблон II)

Відповідно негативна коваріація буде мати місце при відповідності малим значенням випадкової величини Х більших значень випадкової величини Y. При слабко вираженій залежності значення коваріації близько до 0. Коваріація залежить від одиниць виміру досліджуваних величин, що обмежує її застосування на практиці. Більш зручним для використання в аналізі є похідний від неї показник - коефіцієнт кореляції R, що обчислюється за формулою:

Коефіцієнт кореляції має ті ж властивості, що й коваріація, однак є безрозмірною величиною та приймає значення від -1 (характеризує лінійний зворотний взаємозв'язок) до +1 (характеризує лінійний прямий взаємозв'язок). Для незалежних випадкових величин значення коефіцієнта кореляції близько до 0. Визначення кількісних характеристик для оцінки тісноти взаємозв'язку між випадковими величинами в Excel може бути здійснено двома способами:

• за допомогою статистичних функцій КОВАР() і КОРРЕЛ();

• за допомогою спеціальних інструментів статистичного аналізу.

Якщо число досліджуваних змінних більше 2, більш зручним є використання інструментів аналізу.

Інструмент аналізу даних «Корреляция»

Визначимо ступінь тісноти взаємозв'язків між змінними V, Q, P, NCF та NPV. При цьому як міру будемо використовувати показник кореляції R.

1. Виберіть в головному меню тему "Сервис" пункт "Анализ данных". Результатом виконання цих дій буде поява діалогового вікна "Анализ данных", що містить список інструментів аналізу.

2. Виберіть зі списку "Инструменты анализа" пункт "Корреляция" і натисніть кнопку "ОК" (рис. 16). Результатом буде поява вікна діалогу інструмента "Корреляция".

3. Заповніть поля діалогового вікна, як показано на рис. 17 і натисніть кнопку "ОК".

Вид таблиці після виконання елементарних операцій форматування наведений на рис. 18.

Рис. 16 — Список інструментів аналізу

Рис. 17 — Заповнення вікна діалогу інструмента "Корреляция"

Рис.18 — Результати кореляційного аналізу

Результати кореляційного аналізу представлені у вигляді квадратної матриці, заповненої тільки наполовину, оскільки значення коефіцієнта кореляції між двома випадковими величинами не залежить від порядку їхньої обробки. Неважко помітити, що ця матриця симетрична щодо головної діагоналі, елементи якої дорівнюють 1, тому що кожна змінна корелює сама із собою.

Як випливає з результатів кореляційного аналізу, висунута в процесі рішення попереднього прикладу гіпотеза про незалежність розподілів ключових змінних V, Q, P у цілому підтвердилася. Значення коефіцієнтів кореляції між змінними витратами V, кількістю Q і ціною Р (осередку В3:В4, С4) досить близькі до 0.

У свою чергу величина показника NPV прямо залежить від величини потоку платежів (R = 1). Крім того, існує кореляційна залежність середнього ступеня між Q та NPV (R = 0,548), P та NPV (R = 0,67). Як і слід було сподіватися, між величинами V та NPV існує помірна зворотна кореляційна залежність (R = -0,39).

Корисність проведення наступного статистичного аналізу результатів імітаційного експерименту полягає також у тім, що в багатьох випадках він дозволяє виявити некоректності у вихідних даних, або навіть помилки в постановці завдання. Зокрема, у розглянутому прикладі, відсутність взаємозв'язку між змінними витратами V та обсягами випуску продукту Q потребує додаткових пояснень, тому що зі збільшенням останнього, величина V також повинна зростати (змінні витрати також часто називають пропорційними, маючи на увазі, що зі збільшенням обсягів випуску продукту вони зростають лінійно). Таким чином, встановлений діапазон змін змінних витрат V має потребу в додатковій перевірці й, можливо, коригуванні.

Слід відзначити, що близькі до нульового значення коефіцієнта кореляції R вказують на відсутність лінійного зв'язку між досліджуваними змінними, але не виключають можливості нелінійної залежності. Крім того, висока кореляція не обов'язково завжди означає наявність причинного зв'язку, тому що дві досліджувані змінні можуть залежати від значень третьої.

При проведенні імітаційного експерименту та наступного ймовірнісного аналізу отриманих результатів ми виходили із припущення про нормальний розподіл вхідних і вихідних показників. Разом з тим, справедливість зроблених допущень, принаймні для вихідного показника NPV, має потребу в перевірці.

Для перевірки гіпотези про нормальний розподіл випадкової величини застосовуються спеціальні статистичні критерії: Колмогорова-Смирнова, . У цілому Excel дозволяє швидко та ефективно здійснити розрахунок необхідного критерію та провести статистичну оцінку гіпотез.

Однак у найпростішому випадку для цих цілей можна використати такі характеристики розподілу, як асиметрія (скіс) і ексцес. Нагадаємо, що для нормального розподілу ці характеристики мають дорівнювати 0. На практиці близькими до нульових значеннями можна зневажити. Для обчислення коефіцієнта асиметрії та ексцесу в Excel реалізовані спеціальні статистичні функції — СКОС() і ЭКСЦЕСС().

Ми ж використаємо виниклу проблему як привід для знайомства з ще одним корисним інструментом аналізу даних Excel - «Описова статистика».

Інструмент аналізу даних «Описательная статистика»

Чим більше характеристик розподілу випадкової величини нам відомо, тим точніше ми можемо судити про описувані нею процеси. Інструмент «Описательная статистика» автоматично обчислює найбільш широко використовувані в практичному аналізі характеристики розподілів. При цьому значення можуть бути визначені одразу для декількох досліджуваних змінних.

Визначимо параметри описової статистики для змінних V, Q, P, NCF, NPV. Для цього необхідно виконати наступні кроки.

• Виберіть в меню "Сервис" пункт "Анализ данных". З’явиться діалогове вікно "Анализ данных" із списком інструментів аналізу.

• Виберіть пункт "Инструменты анализа\Описательная статистика" і натисніть "ОК".

• Заповніть поля діалогового вікна "Описательная статистика", як показано на рис. 19, натисніть кнопку "ОК".

Результатом виконання зазначених дій буде формування окремого аркуша, що містить обчислені характеристики описової статистики для досліджуваних змінних. Виконавши операції форматування, можна привести отриману таблицю до більш наочного вигляду (рис. 20).

Рис. 19 — Заповнення полів діалогового вікна "Описательная статистика"

Рис. 20 — Описова статистика для досліджуваних змінних

Більшість характеристик, що наведені у таблиці, вам добре знайомі, а їх значення вже визначені за допомогою відповідних функцій на аркуші "Результаты анализа". Тому розглянемо лише ті з них, що не згадувалися раніше.

Другий рядок таблиці містить значення стандартних помилок для середніх величин розподілів. Іншими словами, середнє або очікуване значення випадкової величини М(Е) визначено з погрішністю .

Медіана - це значення випадкової величини, що ділить площу, обмежену кривою розподілу, навпіл (тобто середина чисельного ряду або інтервалу). Як і математичне очікування, медіана є однією з характеристик центру розподілу випадкової величини. У симетричних розподілах значення медіани повинне бути рівним або досить близьким до математичного очікування.

Отримані результати свідчать, що дана умова дотримується для вихідних змінних V, Q, P (значення медіан лежать у діапазоні М(Е) , тобто, практично збігаються із середніми). Однак для результатних змінних NCF, NPV значення медіан лежать нижче середніх, що наводить на думку про правобічну асиметричність їх розподілів.

Мода - найбільш ймовірне значення випадкової величини (значення, що найбільш часто зустрічається в інтервалі даних). Для симетричних розподілів мода дорівнює математичному очікуванню. Іноді мода може бути відсутня. У цьому випадку Excel повертає повідомлення про помилку. Таким чином, обчислення моди не є можливим.

Ексцес характеризує гострість (позитивне значення) або положистість (негативне значення) розподілу в порівнянні з нормальною кривою. Теоретично, ексцес нормального розподілу повинен дорівнювати 0. Однак на практиці для генеральних сукупностей більших обсягів його малими значеннями можна зневажити.

У розглянутому прикладі приблизно однаковий позитивний ексцес спостерігається у розподілі змінних Q, NCF, NPV. У такий спосіб графіки цих розподілів будуть ледве гостріші у порівнянні з нормальною кривою. Відповідно графіки розподілів для змінних V і Р будуть більш пологими від нормального.

Асиметричність (коефіцієнт асиметрії або скосу - s) характеризує зсув розподілу щодо математичного очікування. При позитивному значенні коефіцієнта розподіл скошений праворуч (його довша частина лежить праворуч від центру математичного очікування). Для нормального розподілу коефіцієнт асиметрії дорівнює 0. На практиці його малими значеннями можна зневажити.

Зокрема асиметрію розподілів змінних V, Q, P у цьому випадку можна вважати несуттєвою, чого не можна, однак, сказати про розподіл NPV.

Здійснимо оцінку значимості коефіцієнта асиметрії для розподілу NPV. Найбільш простим способом одержання такої оцінки є визначення стандартної (середньої квадратичної) помилки асиметрії, що розраховується за формулою:

де n - число значень випадкової величини (у цьому випадку - 500).

Якщо відношення коефіцієнта асиметрії s до величини помилки менше трьох (тобто: s / < 3), то асиметрія вважається несуттєвою, а її наявність пояснюється впливом випадкових факторів. У протилежному випадку асиметрія статистично значима та факт її наявності вимагає додаткової інтерпретації. Здійснимо оцінку значимості коефіцієнта асиметрії для розглянутого приклада. Введіть до будь-якої комірки формулу: = 0,763 / КОРЕНЬ(6*499 / 501*503) (Результат: 7,06).

Оскільки відношення s / > 3, асиметрію варто вважати істотною. У такий спосіб наше первісне припущення про правобічну скошеність розподілу NPV підтвердилося.

Для розглянутого прикладу наявність правобічної асиметрії може вважатися позитивним моментом, тому що це означає, що більша частина розподілу лежить вище математичного очікування, тобто більші значення NPV є більш ймовірними.

Аналогічно можна перевірити значущість величини ексцесу — е. Формула для розрахунку стандартної помилки ексцесу має вигляд:

де: n - число значень випадкової величини.

Якщо відношення e / < 3, ексцес вважається незначним і його величиною можна зневажити.

Ви можете включити перевірку значимості показників асиметрії та ексцесу в розроблений шаблон, задавши відповідні формули в аркуші "Результаты анализа". Для зручності попередньо варто визначити власне ім'я для осередку В10 аркуша "Имитация", наприклад - "Кол_знач". Тоді формула перевірки значимості коефіцієнта асиметрії для розподілу NPV може бути задана в такий спосіб:

=СКОС(ЧСС)/КОРЕНЬ(6*(Кол_знач-1))/((Кол_знач+1)*(Кол_знач+ 3)).

Для обчислення коефіцієнта асиметрії в цій формулі використана статистична функція СКОС(). Формула для перевірки значимості показника ексцесу задається аналогічно. Чисельником цієї формули буде функція ЭКСЦЕСС(), а знаменником співвідношення (7), реалізоване засобами Excel.

Показники описової статистики, що залишилися (рис. 20), становлять менший інтерес. Величина "Интервал" визначається як різниця між максимальним і мінімальним значенням випадкової величини (чисельного ряду). Параметри "Счет" та "Сумма" являють собою число значень у заданому інтервалі і їхній сумі відповідно.

Остання характеристика "Уровень надежности" показує величину довірчого інтервалу для математичного очікування відповідно до заданого рівня надійності або довіри. За замовчуванням рівень надійності прийнятий рівним 95%.

Для розглянутого прикладу це означає, що з ймовірністю 0,95 (95%) величина математичного очікування NPV потрапить в інтервал 3412,14 224,88.

Ви можете вказати інший рівень надійності, наприклад - 98%, шляхом введення відповідного значення в поле "Уровень надежности" діалогового вікна "Описательная статистика". Слід зазначити, що чим

вище прийнятий рівень надійності, тим більшю буде величина довірчого інтервалу для середнього.

Розрахунок довірчого інтервалу для середнього значення можна також здійснити за допомогою спеціальної статистичної функції ДОВЕРИТ().

Надбудова "Анализ данных" містить цілий ряд інших корисних інструментів, що дозволяють швидко й ефективно виконати статистичну обробку даних. Водночас, більшість з них вимагає осмисленого застосування та відповідної підготовки користувача в галузі математичної статистики.

Зазначимо, що імітаційне моделювання дозволяє врахувати максимально можливе число факторів зовнішнього середовища для підтримки прийняття управлінських рішень та є найбільш потужним засобом аналізу інвестиційних ризиків. Необхідність його застосування у вітчизняній фінансовій практиці обумовлена особливостями вітчизняного ринку, що характеризується суб'єктивізмом, залежністю від позаекономічних факторів і високим ступенем невизначеності.

Результати імітації можуть бути доповнені ймовірнісним і статистичним аналізом та в цілому забезпечують менеджера найбільш повною інформацією про ступінь впливу ключових факторів на очікувані результати та можливі сценарії розвитку подій.

До недоліків розглянутого підходу слід віднести:

• труднощі розуміння та сприйняття менеджерами імітаційних моделей, що враховують велике число зовнішніх і внутрішніх факторів, внаслідок їх математичної складності та об'ємності;

• при розробці реальних моделей може виникнути необхідність залучення фахівців або наукових консультантів зі сторони;

• відносну неточність отриманих результатів, у порівнянні з іншими методами чисельного аналізу та ін.

Незважаючи на вказані недоліки, імітаційне моделювання є основою для створення нових перспективних технологій управління та прийняття рішень у сфері бізнесу, а розвиток обчислювальної техніки та програмного забезпечення робить цей метод усе більш доступним для широкого кола фахівців-практиків.