2.5. Зоны Бриллюэна

Условие трансляционной симметрии волновой функции не нарушится, если волновой вектор заменить на вектор , где - вектор трансляции обратной решетки.

Действительно, согласно (2.14)

, (2.40)

так как скалярное произведение векторов прямой и обратной решеток , т.е. для целых m и всех векторов решетки Бравэ.

Полученный результат означает, что к любому вектору , характеризующему состояние электрона в среде с периодическим потенциалом, всегда можно добавить любой вектор обратной решетки, причем это изменение не приводит к изменению состояния электрона. Следовательно, энергия электронов, находящихся в этих двух состояниях, одинакова. Другими словами, энергия электрона в кристалле является периодической функцией волнового вектора с периодом (или )

. (2.41)

Если в -пространстве построить обратную решетку, то все -пространство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Такие области называются зонами Бриллюэна. Тогда изменение волновой функции и энергии электрона можно рассматривать не во всем -пространстве, а лишь в пределах первой зоны Бриллюэна, объем которой ограничен пределами изменения волнового вектора

. (2.42)

Поскольку вектора определены с точностью до , возникает вопрос о выборе начального вектора . Обычно за такой вектор принимают тот из них, который ближе других расположен к началу координат -пространства. Для простой кубической решетки области, в которых будут находиться все такие вектора, будут иметь границы

, , . (2.43)

Здесь , (или , ) где индекс 1 указывает на то, что за , , принимают их наименьшие значения.

Так как вектора нахо­дятся с точностью до , то лю­бая функция может быть переве­дена в первую зону Бриллюэна. Для э

Рис. 2.7. Схема приведения волнового вектора к первой зоне Бриллюэна.

того из рассматриваемого вектора следует вычесть век­тор , чтобы их разность - оказалась внутри или на границе первой зоны Бриллюэна (рис. 2.7). Процедура приведения произ­вольного вектора к первой зоне Бриллюэна получила название схемы приведенных зон (рис. 2.8).

С

Рис. 2.8 Изображение дисперсионной зависимости в схемах расширенной (I) приведенной (II) и повторяющей (III) зон.

хема изображения зон в -пространстве без приведения к первой зоне называется схемой расширенных зон. Иногда оказывается удобным транслировать результат приведения во все зоны Бриллюэна. Такая схема получила название схемы повторяющихся зон.

Изменению энергии , отвечающей изменению внутри одной зоны Бриллюэна, соответствует энергетическая зона. В схеме приведенных зон одной энергетической зоне соответствует изменение функции при одноразовом проходе внутри зоны Бриллюэна. В этом случае для различия разных энергетических зон их часто нумеруют дополнительным индексом. Состояние электрона с волновым вектором в энергетической зоне с индексом будет описывать функция .

Еще раз обратим внимание читателя: зона Бриллюэна – зона в -пространстве, а энергетическая зона - зона в шкале энергий.