2. Временная диаграмма

Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

i(t) = I_m sin(ωt - ψ_i).

3. Графоаналитический способ

Рис. 2.2

Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.

Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.

В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.

Пример (рис. 2.3)

Рис. 2.3

i₁(t) = I_m1 sin(ωt) i₂(t) = I_m2 sin(ωt + ψ₂)

i(t) = ?

Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

i(t) = i₁(t) + i₂(t) = I_m1 sin(ωt) + I_m2 sin(ωt - ψ₂) = I_m sin(ωt + ψ).

Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):

(2.4)

I_m sin ψ = I_m2 sin ψ₂;

(2.5)

I_m cos ψ = I_m2 cos ψ₂ + I_m1;

Рис. 2.4

Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

; .

 

4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел

Рис. 2.5

Синусоидальный ток i(t) = I_m sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Í_m на комплексной плоскости (рис. 2.5)

Í_m = I_me^jψ,

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.

17.Электрическая цепь с активным сопротивлением: законы изменения тока, напряжения, мощности.

Сопротивление одного и того же проводника для переменного тока будет больше, чем для постоянного.

Это объясняется явлением так называемого поверхностного эффекта, заключающегося в том, что переменный ток вытесняется от центральной части проводника к периферийным слоям. В результате плотность тока во внутренних слоях будет меньше, чем в наружных. Таким образом, при переменном токе сечение проводника используется как бы не полностью. Однако при частоте 50 Гц различие в сопротивлениях постоянному и переменному токам незначительно и практически им можно пренебречь.

Сопротивление проводника постоянному току называют омическим, а переменному току – активным сопротивлением.

Омическое и активное сопротивление зависят от материала (внутренней структуры), геометрических размеров и температуры проводника. Кроме того, в катушках со стальным сердечником на величину активного сопротивления влияют потери в стали (далее для самоподготовки).

К активным сопротивлениям относят электрические лампы накаливания, электрические печи сопротивления, различные нагревательные приборы, реостаты и провода, где электрическая энергия практически почти целиком превращается в тепловую.

Пусть имеется цепь переменного синусоидального тока с активным сопротивлением (рис. 9).

 

 

Рисунок 9 – Цепь с активным сопротивлением.

На схеме стрелками показаны условно принятые положительные направления напряжения и тока. Сопротивлением проводов пренебрегаем.

Так как напряжение цепи изменяется по закону синуса, то мгновенное его значение будет

 (14)

Тогда мгновенное значение тока по закону Ома будет равно

. (15)

Из выражения (15) следует, что напряжение и ток в цепи с активным сопротивлением, изменяясь по закону синуса, совпадают по фазе.

На рис. 10 представлены волновая и векторная диаграммы тока и напряжения; на векторной диаграмме отложены действующие значения величин.

Как вытекает из формулы (15), ток будет иметь наибольшее значение при sin ωt = 1. Следовательно, амплитуда тока

. (16)

Таблица 2 – Значение мгновенной мощности в зависимости от угла α

Рисунок 10 – Волновая и векторная

диаграммы с активным сопротивлением.

 

Формула (16) представляет закон Ома для амплитудных значений. Разделив обе части выражения (16) на  , получим закон Ома для действующих значений

 

. (17)

Мгновенная мощность будет равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

. (18)

Но

,

следовательно,

или

. (19)

Выражение (18) и данные, приведенные в таблице 2, показывают, что кривая мгновенной мощности пульсирует с двойной частотой около среднего значения, равного UI, оставаясь все время положительной. Кривая мгновенной мощности может быть получена умножением ординат напряжения и тока (рис. 10).

Среднее значение мощности за период в цепи переменного тока с активным сопротивлением будет равно

 (20)

Средняя мощность за период называется активной мощностью и измеряется в ваттах (Вт) или киловаттах (кВт).

Площадь, ограниченная кривой мгновенной мощности и осью абсцисс, в некотором масштабе представляет энергию, полученную цепью от генератора. Как видно из рис. 10, в течение всего периода Т энергия в цепи положительна, т.е. направлена от генератора к потребителю. Эта энергия превращается в тепловую (или механическую) энергию, и, таким образом, происходит необратимый процесс.

Обобщая изложенное, можно сделать следующие выводы:

- в цепях переменного тока только с активным сопротивлением (L = 0; C = 0) ток совпадает по фазе с приложенным напряжением (φ = 0).

- закон Ома справедлив не только для мгновенных, но также для амплитудных и действующих значений напряжения и тока.

- мгновенная мощность и энергия, получаемые цепью в течение периода, положительны, т.е. направлены от генератора к потребителю; средняя (активная) мощность за период равна UI.

18. Электрическая цепь с индуктивностью: законы изменения тока, напряжения, мощности.

Под действием синусоидального напряжения в цепи с индуктивной катушкой без ферромагнитного сердечника (рис. 23) проходит синусоидальный ток  .

Рис. 23. Цепь с индуктивностью

 

В результате этого вокруг катушки воз­никает переменное магнитное поле и в катушке на­водится ЭДС самоиндукции.

Так как R=0 напряжение источника целиком идет на уравновешивание этой ЭДС; следовательно,  .Так как

, то 

или

 (12)

Таким образом, ток в цепи с индуктивностью отстает по фазе от напряже­ния на угол π/2 или ¼ периода (рис. 24).

а) б)

Рис. 24. Ток и напряжение в цепи с индуктивностью

Объясняется это тем, что в моменты времени, когда ток проходит через нулевые значения, скорость изменения его наибольшая, соответственно наибольшими будут и ЭДС самоиндукции и уравновешивающее ее напряжение. Наоборот, в те моменты, когда ток проходит через амплитудные значения, скорость его изменения равна нулю, соответственно равны нулю и ЭДС самоиндукции и напряжение. По закону Ленца при нарастании тока ЭДС самоиндукции направлена навстречу току, и наоборот, при его уменьшении ЭДС направлена одинаково с ним. Поэтому, когда ток положителен и нарастает, ЭДС отрицательна, а во второй четверти периода, когда ток положителен и убывает, ЭДС отрицательна.

Закон Ома для цепи с индуктивностью.

,  (13)

где  , Ом – реактивное индуктивное сопротивление.

Закон Ома для цепи с индуктивностью может быть применим только для амплитудных и действующих значений тока и напряжения и не может применяться для мгновенных напряжений, т.к.  и  .

С уве­личением частоты тока индуктивное сопротивление X_L увеличивается (рис. 25). Физически это объясня­ется тем, что возрастает скорость изменения тока, а следовательно, и ЭДС самоиндукции.

Рис. 25

Мгновенная мощность.Как и для цепи с R, мгно­венное значение мощности определяется произведе­нием мгновенных значений напряжения и тока:

Рис. 26. Ток, напряжение и мощность цепи с индуктивностью L

 

Из графика на рис. 26 видно, что при одинаковых знаках напряжения и тока мгновенная мощность по­ложительна, а при разных знаках – отрицательна. Физически это означает, что в первую четверть периода переменного тока энергия источника преобразуется в энергию магнитного поля катушки. Во вторую чет­верть периода, когда ток убывает, катушка возвра­щает накопленную энергию источнику. В следующую четверть периода процесс передачи энергии источни­ком повторяется и т. д. Мощность изменяется с двойной частотой. Таким образом, в среднем катушка не потребляет энергии и, следовательно, активная мощность Р=0.

 

Реактивная мощность харак­теризует интенсивности обмена энергией между источником и катушкой:

Единица реактивной мощности – вольт-ампер реактивный (Вар).

19.Электрические цепь с ёмкостью: законы изменения тока, напряжения, мощно­сти.

Рассмотрим электрическую цепь, в которой переменное напряжение u(t) = U_m∙sinωt приложено к ёмкости.

Рис.4.19. Цепь с ёмкостью.

Мгновенное значение тока в цепи с ёмкостью равно скорости изменения заряда на обкладках

конденсатора    i =  , но q = C∙u, то

I = C∙ = ω∙C∙U_m∙cosωt = I_m∙sin(ωt + π/2), где

ω∙C∙U_m = I_m.

Мы видим, что в этой цепи ток опережает напряжение на угол π/2. Перейдя к действующим значениям переменного тока I = I_m / √2, U = U_m / √2, получим:        

 I = U / X_c.

Это закон Ома для цепи переменного тока с ёмкостью, а величина X_c = 1 / ω∙C называется емкостным сопротивлением. Векторная диаграмма для этой цепи:

 

Рис.4.20. Векторная диаграмма цепи с ёмкостью.

Здесь ток опережает напряжение на π/2.

Посмотрим, что будет представлять собой мгновенная мощность в цепи, содержащей ёмкость.

p(t) = I_m∙U_m∙sinωt∙sin(ωt + π/2) =  I_m∙U_m∙sin2ωt.

Временная диаграмма показана ниже.

 

Рис.4.21.Временная  диаграмма изменения мгновенной мощности в цепи с индуктивностью.

Мы видим, что мгновенная мощность изменяется с удвоенной частотой. При этом положительные значения мощности соответствуют заряду конденсатора, а отрицательные - возврату запасённой энергии в источник. Средняя за период мощность здесь равна нулю, поскольку в цепи с конденсатором активная мощность не потребляется, а происходит обмен электрической энергии между конденсатором и источником. Следовательно, конденсатор так же, как и индуктивность является реактивным сопротивлением.

20. Электрическая цепь переменного тока с индуктивностью и активным сопро­тивлением.

Реальные цепи, содержащие индуктивность, всегда имеют и активное сопротивление: сопротивление провода обмотки и подводящих проводов. Рассмотрим электрическую цепь, в которой через катушку индуктивности L, обладающую активным сопротивлением R, протекает переменный ток I = I_m∙sinωt.

Рис.4.17. Цепь с индуктивностью и активным сопротивлением.

Через катушку и резистор протекает один и тот же ток, поэтому в качестве основного выберем вектор тока, и будем строить вектор напряжения, приложенного к этой цепи. Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности и на резисторе.

U = U_L + U_R

Напряжение на резисторе будет совпадать по фазе с током:

U_R = U_mR∙sinωt,

а напряжение на индуктивности будет равно ЭДС самоиндукции со знаком минус (по второму закону Кирхгофа).

U_L = L∙  = I_m∙ω∙L∙cosωt = U_mL∙sin(ωt + π/2)

Мы видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол π/2. Построив векторы I, U_R и U_L и найдём вектор U. Векторная диаграмма показана на следующем рисунке.

Рис.4.18. Векторная диаграмма цепи с индуктивностью и активным сопротивлением.

 

В рассматриваемой цепи ток I отстаёт по фазе от приложенного напряжения U, но не на π / 2, как в случае с чистой индуктивностью, а на некоторый угол φ. Этот угол может принимать любые значения от 0 до π/2 и при заданной индуктивности зависит от активного сопротивления. С увеличением R угол φ уменьшается. Как видно из диаграммы, модуль вектора U равен:

U =    = I∙  = I∙Z₁, где

Z1 =  называется полным сопротивлением цепи. Сдвиг по фазе между током и напряжением в данной цепи также определяется из векторной диаграммы:

tg φ = U_R / U_L = ωL / R

21.Электрическая цепь переменного тока с ёмкостью и активным сопротивлени­ем.

В реальных цепях переменного тока с ёмкостью всегда имеется активное сопротивление. Рассмотрим такую цепь.

Рис.4.22. Цепь с ёмкостью и активным сопротивлением.

Через конденсатор и резистор протекает один и тот же ток i = I_m∙sinωt. Поэтому в качестве основного выберем вектор тока и будем строить вектор напряжения, приложенного к этой цепи.

U = U_c + U_R.

Напряжение на резисторе будет совпадать по фазе с током:

U_R = U_mR∙sinωt.

Напряжение на конденсаторе будет отставать по фазе от тока на угол π / 2:

U_c = U_mc∙sin(ωt - π/2 )

Построим векторы I, U_R и U_c и найдём вектор U. Построим векторную диаграмму.

Рис.4.23. Векторная диаграмма цепи с ёмкостью и активным сопротивлением.

Из векторной диаграммы следует, что ток I опережает по фазе приложенное напряжение U , но не на угол π/2, как в случае чистой ёмкости, а на угол φ. Этот угол может изменяться от 0 до π/2 и при заданной ёмкости С зависит от значения активного сопротивления: с увеличением R угол φ уменьшается.

Модуль вектора U равен:

U =   = I  = I∙Z₁ , где

Z₁ =   (4.24) называется полным сопротивлением цепи.

Сдвиг по фазе между током и напряжением:

tgφ = Uc/U_R = (1/ωC)/R = 1/(ω∙R∙C).

22. Последовательное соединение катушки, конденсатора и резистора. Резонанс напряжений. Положительные и отрицательные моменты резонанса.

Последовательное соединение сопротивления, конденсатора и катушки

Рис. 1

Для анализа схемы разложим напряжение сети U на три составляющие:

• U_R — падение напряжения на активном сопротивлении;

• U_L — падение напряжения на индуктивном сопротивлении;

• U_C — падение напряжения на емкостном сопротивлении.

Ток в цепи I будет общим для всех элементов:

Проверку производят по формуле:

Следует отметить, что напряжения на отдельных участках цепи не всегда совпадают по фазе с током I. Так, на активном сопротивлении падение напряжения совпадает по фазе с током, на индуктивном оно опережает по фазе ток на 90° и на емкостном — отстает от него на 90°. Графически это можно показать на векторной диаграмме.

Векторная диаграмма

Рис. 2

Изображенные выше три вектора падения напряжений можно геометрически сложить в один.

Сложение трех векторов напряжения

Рис. 3

В таком соединении элементов возможны активно-индуктивный или активно-емкостный характеры нагрузки цепи. Следовательно, фазовый сдвиг имеет как положительный, так и отрицательный знак.

Резонанс напряжений. Условие резонанса напряжений.

Интересным является режим, когда нет сдвига по фазе. В этом случае:

Такой режим работы схемы называется резонансом напряжений. Полное сопротивление при резонансе напряжений имеет минимальное значение:

И при заданном напряжении U ток I может достигнуть максимального значения.

Из условия ωL = 1/ωC определим резонансную частоту:

Явления резонанса напряжений широко используется в радиотехнике и в отдельных промышленных установках.

23. Параллельное соединение катушки, конденсатора и резистора. Резонанс токов. Положительные и отрицательные моменты резонанса.

Электрические цепи однофазного тока. Параллельное соединение конденсатора и катушки. Резонанс токов.

Рассмотрим цепь параллельного включения конденсатора и катушки, обладающей активным сопротивлением и индуктивностью.

Параллельное соединение конденсатора и катушки

Рис. 1

В этой схеме общим параметром для двух ветвей является напряжение U. Первая ветвь — индуктивная катушка — обладает активным сопротивлением R и индуктивностью L. Результирующее сопротивление Z₁ и ток I₁ определяются по формуле:

Поскольку сопротивление этой ветви комплексное, то ток в ветви отстает по фазе от напряжения на угол φ₁ = arctg(R/X_L). Покажем это на векторной диаграмме.

Векторная диаграмма для первой ветви

Рис. 2

Спроецируем вектор тока I₁ на оси координат. Горизонтальная составляющая тока будет представлять собой активную составляющую I_1R, а вертикальная — I_1L. Количественные значения этих составляющих будут равны:

Во вторую ветвь включен конденсатор. Его сопротивление

Этот ток опережает по фазе напряжение на 90°. Для определения тока I в неразветвленной части цепи воспользуемся формулой:

Его значение можно получить и графическим путем, сложив векторы I₁ и I₂ (рис. 3). Угол сдвига между током и напряжением обозначим буквой φ. Здесь возможны различные режимы в работе цепи. При φ = +90° преобладающим будет емкостный ток, при φ = -90° — индуктивный.

Векторная диаграмма разветвленной цепи

Рис. 3

Резонанс переменного тока. Условие резонанса токов.

Возможен режим, когда φ = 0, т.е. ток в неразветвленной части цепи I будет иметь активный характер. Произойдет это в случае, когда I_1L = I₂, т.е. при равенстве реактивных составляющих тока в ветвях. Такой режим называется резонансом токов. Также как в случае с резонансом напряжений, он широко применяется в радиотехнике.

Векторная диаграмма в режиме резонанса токов

Рис. 4

Рассмотренный выше случай параллельного соединения R, L и C может быть также проанализирован с точки зрения повышения cosφ для электроустановок. Известно, что cosφ является технико-экономическим параметром в работе электроустановок. Определяется он по формуле:

cosφ = P / S, где

Р — активная мощность электроустановок, кВт; S — полная мощность электроустановок, кВт.

На практике cosφ определяют снятием со счетчиков показаний активной и реактивной энергии и, разделив одно показание на другое, получают tgφ. Далее по таблицам находят и cosφ.

Чем больше cosφ, тем экономичнее работает энергосистема, так как при одних и тех же значениях тока и напряжения (на которые рассчитан генератор) от него можно получить большую активную мощность. Снижение cosφ приводит к неполному использованию оборудования и при этом уменьшается КПД установки. Тарифы на электроэнергию предусматривают меньшую стоимость 1 киловатт-часа при высоком cosφ, в сравнении с низким.

Мероприятия по повышению cosφ:

• недопущение холостых ходов электрооборудования;

• полная загрузка электродвигателей, трансформаторов и т.д.

Кроме этого, на cosφ положительно сказывается подключение к сети статических конденсаторов.

24. Активная, реактивная и полная мощность. Коэффициент мощности, его роль и способы повышения.

Мощность — работа в единицу времени по перемещению зарядов из А в B за некий период времени. С помощью закона Ома мощность на сопротивлении R можно выразить через ток и напряжение:

 P=I*U=I²*R=U²/R

Эти формулы справедливы только при постоянном напряжении.

 Значение полной мощности S для переменного тока сформировано из корня квадратного суммы квадратов активной и реактивной составляющих. Полную мощность можно рассчитать с помощью активной и реактивной:

 S=U*I= P²+Q²

 (В*А), она равна произведению значений периодического I в цепи и U на контактах.

 Активная мощность — средняя за определенный период времени, в цепях однофазного синусоидального напряжения 

P=U*I*cos φ 

 (Вт)

 Реактивная мощность характеризует нагрузку, созданную колебаниями энергии ЭМПоля в цепи синусоидального переменного напряжения.

Q=U*I*sin φ

(var — вар).

 Физически — это энергия для перемагничивания короткозамкнутой обмотки асинхронного двигателя во время его работы. Если нагрузка активно-индуктивная, то реактивная мощность будет положительной, если нагрузка активно-ёмкостного характера — отрицательной. Для измерения электрической мощности используют косвенный метод (вольтметр + амперметр), но обычно применяются ваттметры и варметры.

 Для полной мощности цепи:

S²=P²+N²

 где N — неактивная мощность.