Вывести формулу сферического избытка треугольника, используя формулу Лежандра.

После того как получены окончательные значения измеренных направлений или углов на поверхности эллипсоида, переходят к решению треугольников. Задача заключается в последовательном вычислении длин сторон треугольников триангуляции, причем известны одна сторона и углы в каждом треугольнике.

Строго говоря, треугольники триангуляции являются сфероидическими или эллипсоидальными треугольниками, поскольку они образованы на поверхности эллипсоида. На практике обычно приходится иметь дело с треугольниками, стороны которых не превышают 40-50 км и в редких случаях достигают 70-80 км. Вследствие близости земного эллипсоида к сфере различие в элементах сфероидических и сферических треугольников триангуляции пренебрегаемо. Таким образом, вычисление треугольников триангуляции сводится к решению сферических треугольников. Если решать треугольники по обычным формулам сферической тригонометрии, то стороны необходимо выражать в частях радиуса, но это неудобно, так как практически стороны должны быть выражены в метрах. Поэтому треугольники триангуляции решают особыми методами, пользуясь теоремой Лежандра или способом аддитаментов.

В сферическом треугольнике сумма углов больше 180° на величину, называемую сферическим избытком (ɛ).

Пусть АВС – сферический треугольник, стороны которого в линейных единицах обозначим через a,b,с. По сторонам a,b,c построим плоский треугольник А1,В1,С1, углы сферического треугольника обозначим соответственно через А,В,С, а углы плоского - через А1,В1,С1

Искомые значения углов плоского треугольника в окончательном виде выразятся простыми формулами: А1 = А - ɛ/3, В1 = В - ɛ/3, С1 = С - ɛ/3, где ɛ - сферический избыток треугольника. Эти формулы выражают теорему Лежандра для малых треугольников.

Поставим задачу найти разности углов А-А1, В-В1,С-С1. Зная эти разности, можем от сферических треугольников переходить к плоским, имеющим такие же значения длин сторон, и таким образом, производить решение треугольников, применяя формулы прямолинейной тригонометрии.

Обозначим через R радиус шара, на котором построен сферический треугольник. Тогда, применив формулу косинуса стороны для сферического треугольника АВС, напишем:

Откуда

Пренебрегая пятыми степенями малых величин , и формулу переписываем в виде

С принятой точностью имеем

или

После перемножения т приведения подобных членов получим:

Для плоского треугольника А1В1С1 имеем

Откуда

и

Принимая во внимание выражения (2) и (3), преписываем формулу (1)

Или

Разность – малая величина, поэтому можно положить:

На этом основании получаем

Площадь P треугольника может быть выражена формулой

Поэтому

Аналогично предыдущему

Складывая почленно три последних уравнения и принимая во внимание, что

, получаем

Так как сумма углов сферического треугольника равна 180º + , где – сферический избыток треугольника, то