Оценка погрешностей равноточных измерений при n равноточных измерениях.

Наиболее достоверным значением, которое можно приписать измеряемой величине является среднее арифметическое значение ряда одинаковых измерений.

Оценка математического ожидания М[x] является . Отклонение результата каждого измерения по числовому значению и по знаку определяется:

Имеют место следующие свойства:

-сумма всех отклонений равна нулю;

- сумма квадратов отклонений от какого-либо числа A минимальна при A=М[x].

Приближенное значение среднеквадратического отклонения определяется по приближенной формуле Бесселя:

Оценка среднего квадратического характеризует точность отдельного измерения и определяется всей совокупностью условий измерений. Оценка дисперсии характеризует степень рассеяния результата измерений вокруг среднего арифметического. Так как среднее арифметическое обладает случайной погрешностей, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднего арифметического:

Рассмотренные оценки результатов измерения, выраженные одним числом, называется точечными оценками. Точечная оценка погрешности полная поскольку указывает на границе интервала в котором может находится истинное значение Х₀, но ничего не говорит о вероятности попадания Х₀ в этот интервал.

Приинтервальные оценки определяют доверительный интервал между границами которого с определенной вероятностью находится истинное значение Х₀. Вероятность попадания в заданный интервал:

Доверительный интервал.

Часто погрешность оказываются распределены по нормальному закону( закону Гауса). Математически закон Гаусса описывается:

Нормальный закон распределения достаточно часто встречается на практике, поскольку погрешности проявляются вследствии влияния большого количества трудноучитываевых факторов. В сумме эти факторы, как можно показать методом теории вероятности, приводят к Гаусовому распределению погрешности.

Кроме этого использование нормального закона распределения не приводит к недооценке величины погрешности.

При расчете величины погрешности пользуются формулой интеграла вероятности нормального распределения. Интеграл вероятности:

Интеграл от 0 до t, т.к. функция распределения является симметричной.

ваамвамвамам

Интеграл вероятности протабулирован и в качестве стандартной функции имеется во всех современных системах подсчета математики.

Фрагмент таблицы вероятности:

Ф(t)/t	0.5	0.68	0.98	0.997
t	0.667	1	2.33	3

Поскольку

На практике погрешность часто определяют по правилу « »:

При технических измерениях значений измеряемой величины может определяться по небольшому числу измерений, это приводит к большой величине погрешности при прочих равнх условиях.

При малом числе измерений, вместо нормального закона распределения пользуются распределением Стьюдента.

Распределение Стьюдента- это распределение, которому подчиняется ограниченный набор случайных значений.

К- число степеней свободы К=n-1( n- число измерений).

Г(n)- Гамма функция Эйлера.

С увеличением числа измерений n, распределение Стьюдента приближается к распределению Гауса.