2. Определение погрешностей косвенных измероений физических величин.
Одним из методов определения погрешностей косвенных измерений, может быть так называемый дифференциальный метод, с которым можно детально ознакомиться в специальной литературе [1, 2]. Согласно этому методу для определения относительной погрешности косвенных измерений следует выполнять три математические операции. Выполним их на примере косвенного определения V – объема цилиндра.
Пример 6. Пусть цена деления линейки 1 мм, а измеренные линейкой высота и диаметр цилиндра составили соответственно H = 34 мм, D = 9 мм. Абсолютные погрешности этих измерений равны:
H = D = 1 мм.
Результаты измерений можно записать в виде:
H = (34 1) мм, или H = (3,4 0,1) см, или
H = (34 1) · 10 –3 м;
D = (9 1) · 10 –3 м.
Измеренное значение H имеет две значащие цифры, D – одну. Следовательно, при расчете можно взять число = 3,14. Откуда
(мм3).
В примере 6 формула для вычисления объема V:
|
(1) |
Шаг 1: возьмем натуральный логарифм от расчетной формулы (1), определяющей искомую величину V:
|
(2) |
Шаг 2: найдем дифференциал от левой и правой частей уравнения (1). Напомним, что производная от Ln x – от натурального логарифма x:
.
Тогда
–
дифференциал натурального логарифма
x
равен:
,
т.е.
|
(3) |
Применяя математическую операцию (3) к каждому из членов уравнения (2), получаем:
|
(4) |
Шаг 3: все символы d в (4) следует заменить на символы ; символом (греческая буква дельта) обозначают абсолютную погрешность. Тогда расчетная формула для вычисления относительной погрешности будет иметь вид:
|
(5) |
В формуле (5), которая является расчетной формулой для вычисления относительной погрешности при косвенных измерениях объема цилиндра, все абсолютные погрешности следует брать по модулю. Следовательно, если в правую часть уравнения (4) входят дифференциалы величин, перед которыми стоит знак минус, то при составлении уравнения (5) следует эти знаки минуса заменить на знак плюс, так как относительная ошибка может только возрастать с ростом количества величин, измеряемых прямым способом.
Таким образом относительная погрешность физической величины, определенной путем косвенных измерений (в нашем случае это объем V), равна сумме относительных погрешностей измерений каждой из тех величин, которые входят в формулу для вычисления искомой величины; при этом относительные погрешности физических величин измеряются прямым способом (в нашем случае это H, D).
Лабораторный метод измерения и определение погрешностей при измерениях этим методом
Причины возникновения и характер проявления погрешностей измерения весьма разнообразны. Поэтому для практических измерений, оказалось, удобно разделить все погрешности на ряд разновидностей, за каждой из которых было закреплено определенное наименование. На сегодня этих наименований около 30!!! Четко усвоить эту терминологию в полном объеме достаточно сложно и доступно лишь высококлассным специалистам по измерениям. Но основные разновидности погрешностей должен хорошо знать и понимать любой специалист с высшим естественно-научным и техническим образованием.
Погрешность результата измерения, конечно, зависит от погрешности средств измерения, но она может отличаться от нее в зависимости от способа измерения (прямое или косвенное измерение), а также от метода измерения (технический или лабораторный метод). Таким образом погрешности средств измерения и погрешности результатов измерений – понятия не идентичные (идентичный (лат.) - одинаковый).