§ 5. Ментальное многообразие: основные понятия и определения

Мы постепенно очертили базовые конструкции ментального многообразия.

В общем случае ментальное многообразие  – это четверка <М₁,М₂,М₃,>, где М₁ – множество некоторых объектов, называемых модусами, аналогично, М₂ – множество моделей, М₃ – множество мод. Каждому модусу M из М₁ сопоставлено множество М₂(M) – множество моделей модуса M, и множество М₃(M) – множество мод модуса M. Причем, предположим, что в состав М₂(М) всегда входит модельная единица 1_m – такая модель, для которой верно: М1_m = М. В общем случае для разных модусов могут быть определены разные модели как модельные единицы. Под обозначением «1(М)_m» будем понимать обозначение модельной единицы именно для модуса М. Если из контекста понятно, о модельной единице какого именно модуса идет речь, то обозначение «1(М)_m» будем сокращать до «1_m».

М₂(M) и М₃(M) – это подмножества М₂ и М₃ соотв.  – это множество биективных отображений вида _M: {M}М₂(M)М₃(M). Впрочем, можно каждое _M рассматривать как сужение  на область определения _M и таким образом трактовать  тоже как отображение. В связи с биективностью _M, каждую моду M можно обозначать в виде _M(M, m) = M_Mm, или: Mm, где m  М₂(M). Для каждой модели m может быть определено множество М₃(m) – множество мод, образуемых в модели m (возможен подход, при котором модус M отождествляется с множеством М₃(M), модель m – с множеством М₃(m), как мы это делали выше при описании R²–многообразия). Мы полагаем также, что для каждого М₃(m) определено отношение эквивалентности =_m – «равенство в модели m».

Эксплицируя философскую логику условного бытия в русской философии всеединства, не раз демонстрируемую нами выше, необходимо выразить, с нашей точки зрения, и «постулат упорядочивающей условности» (см. Часть 2, Главу 1, Раздел 2, §1), связывающий воедино идею порядка и условности. Этот постулат рассматривается нами в данном случае как нечто, существенно определяющее смысл условного бытия для операции обобщенного проецирования . В связи с этим, требование порядка Mm  M для моды Mm и модуса M мы вводим ниже в качестве существенного признака ментального многообразия как некоторого специфического вида структуры. Далее выясняются необходимые и достаточные условия для этого.

Пусть ₁ = <M¹₁,M¹₂,M¹₃,>, ₂ = <M²₁,M²₂,M²₃,> – некоторые ментальные многообразия в рамках данных выше определений, причем, М²₁ = М¹₃ – множество модусов второго ментального многообразия – это множество мод первого ментального многообразия. В этом случае назовем второе ментальное многообразие ₂ производным по отношению к первому ментальному многообразию ₁.

Ментальное многообразие = <M₁,M₂,M₃,>, для которого найдутся ментальные многообразия ₁=<M¹₁,M¹₂,M¹₃,> и ₂ = <M²₁,M²₂,M²₃,>, где ₂ – производное ментальное многообразие для ₁, M¹₁  M₁, M²₁  M₁, и М¹₂(Х)  М₂(Х) для каждого модуса Х из M¹₁, назовем многоуровневым (иерархическим) ментальным многообразием. Ментальные многообразия, не являющиеся многоуровневыми, будем называть одноуровневыми (неиерархическими) ментальными многообразиями.

Далее будем предполагать, что для любого многоуровневого ментального многообразия с любым модусом Х, в качестве модуса которого определена хотя бы одна его мода Хm, выполнено для всех таких мод условие: m*[(Хm)m’ = Xm*] – условие ассоциативности (в самом деле, в этом случае мы можем положить по определению: m* = (mm’), понимая операцию проецирования  как ассоциативную. Заметим, что при такой трактовке задается некоторое ментальное многообразие на моделях). Здесь предполагается, что модель m* – это одна из моделей для модуса Х, модель m’ – любая модель для модуса Хm. Данное условие можно проинтерпретировать таким образом: “условное бытие условного бытия Х равно условному бытию Х”. Такое требование выражает некоторое неравноправие Х и его мод – мода Хm не равна Х в том смысле, что моды этой моды можно представить как моды Х, т.е. можно как бы обойтись без Хm как самостоятельного модуса. В этом смысле Х доминирует как источник предикации над своими модами.

Мы принимаем следующее требование для всякого ментального многообразия: Y  (Ym)m’, где m1(Y)_m или m’1(Ym)_m. Этим условием выражено следующее положение: “условное бытие условного бытия Y не может быть безусловным бытием Y, или: условное бытие Y не может быть безусловным бытием Y”. Такое требование можно называть “аксиомой линейной условности”.

Для любого ментального многообразия может быть принято также следующее свойство: для любых различных Х и Y неверно, что Х = Ym и одновременно Y = Хm’, где m1(Y)_m или m’1(X)_m (условие модальной невзаимности). В самом деле, представим, что для XY Х = Ym и одновременно Y = Хm’, где m1(Y)_m или m’1(X)_m. Тогда Y = (Ym)m’, что либо невозможно для одноуровневого ментального многообразия, либо, если мы имеем дело с многоуровневым ментальным многообразием, то это противоречит аксиоме линейной условности.

Пусть  – некоторое ментальное многообразие. Положим, что Х <_ Y тогда и т.т., когда Y – модус из , Х – мода из , m – модель из , и Х = Ym, причем, m  1(Y)_m.

При принятых выше условиях можно показать, что, если  – ментальное многообразие, то отношение Х <_ Y – это отношение строгого порядка. Проверим для этого свойства нерефлексивности, несимметричности и транзитивости.

1. Нерефлексивность: для всякого Х неверно, что Х <_ Х. В самом деле, если бы было верно, что Х <_ Х, то Х = Хm, откуда следовало бы, что m = 1(X)_m, что неверно.

2. Несимметричность: для любых Х и Y, если Х <_ Y, то неверно, что Y <_ Х. В самом деле, если предположить противное, т.е. одновременную верность Х <_ Y и Y <_ Х, то мы получим, что Х = Ym и Y = Хm’, где m1(Y)_m и m’1(X)_m, а это противоречит условию модальной невзаимности.

3. Транзитивность (это свойство выполнимо только для многоуровневых ментальных многообразий): для любых X, Y, Z, если Х <_ Y и Y <_ Z, то верно, что Х <_ Z. В самом деле, Х <_ Y и Y <_ Z означает, что Х = Ym и Y = Zm’, причем, m1(Y)_m и m’1(Z)_m. Тогда Х = (Zm’)m = Zm* (по условию ассоциативности), и m*1(Z)_m (по аксиоме линейной условности). Это означает, что Х <_ Z.

Таким образом, к структуре  «ментальное многообразие» мы предъявляем требование выполнения аксиом строгого порядка для отношения Х <_ Y. Такое отношение может быть обобщено до отношения Х _ Y нестрогого порядка, где Х _ Y тогда и т.т., когда Y – модус из , Х – мода из , m – модель из  (в том числе не исключен и случай m = 1(Y)_m), и Х = Ym.

На этом заканчивается так называемое общее определение ментального многообразия.

Как, например, для топологий или линейных пространств в математике, возможны в общем случае различные классы ментальных многообразий, выделяемые из общего определения наложением некоторых дополнительных условий. Например, при описании логики абсолютного у Соловьева в терминах конструкций ментального многообразия мы предполагали возможность использования здесь двух видов ментального многообразия: с одним модусом (монадическое ментальное многообразие) и тремя модусами (полиадическое ментальное многообразие), для которых в любом случае определены три модели (М1, М2 и М3 – см. часть 2, главу 1, раздел 1, § 5).

Для выражения идей логики всеединства, мы дополнительно требуем, чтобы:

1. Для каждого модуса M был определен единственный элемент из М₂ – собственная (каноническая) модель M (мы обозначали ее выше как mM), причем, между множествами М₁ и М₂ введена биекция, при которой каждому модусу сопоставлена его каноническая модель (такое ментальное многообразие будем называть 1-каноническим).

2. М₂(M) = М₂ для любого модуса M (такое ментальное многообразие, если кроме того, оно 1-каноническое, можно было бы называть регулярным).

3. На модусах и модах каждой модели введены булевы алгебры (и соответствующие отношения нестрогого порядка, согласованные с булевой алгеброй и отношением эквивалентности (равенством) на множествах мод модели), причем, существует естественный изоморфизм указанных булевых алгебр: выполнены свойства I2 и I3, что естественно приводит к выполнению свойства О2 (такие ментальные многообразия можно называть правильными булевыми).

4. Выполнено свойство О1 (ментальное многообразие с каноническим доминированием).

5. Выполнено свойство О3 (экранирующее ментальное многообразие).

6. Для мод каждой модели тем или иным способом обеспечена голоморфность (голоморфные ментальные многообразия). Мы не даем здесь общую формулировку обеспечения голоморфности, и пока ее можно понимать, например, в рамках средств введения ментальной топологии (топологически голоморфные ментальные многообразия), как это было проиллюстрировано выше, т.е.

6.1. Каждой моде M_iM_j из М₃(mM_j) ставится в соответствие открытое множество M_iM_j (или IntM_iM_j) из некоторой топологии  (заметим, что эквивалентность =_m предполагается как достаточное условие для равенства внутренностей мод: если M₁m =_m M₂m (что впрочем можно просто обозначать как M₁m = M₂m), то M₁m = M₂m. В наших рассуждениях выше мы для простоты предполагали, что это и необходимое условие (в общем случае в определении L-статуса предполагается именно отношение =_m: M_j_L в модели mM_i т. и т.т., когда M_jmM_i =_m M_imM_i).

6.2. Обеспечивается изоморфизм решеток М₃(mM_j) и М₃(mM_j) – индуцированной топологии на M_iM_j (в частности, выполнено свойство I1).

6.3. Мода M_iM_j определяется в топологическом плане как замкнутое множество:

M_iM_j   M_iM_j ,

где для M_i и каждого M_j определено отображение

Р_Mj((M¹M¹)) = Р_Mj((((M_iM_j)M¹)  (((M_iM_j)M¹))) =

Р_Mj(((M_iM_j)M¹))  Р_Mj(((M_iM_j)M¹)) = M_iM_j  M_iM_j , т.е.:

Р_Mj(((M_iM_j)M¹)) = M_iM_j ,

Р_Mj(((M_iM_j)M¹)) = M_iM_j .

Эти объекты можно интерпретировать так же, как это было сделано выше (см. §2), если M_i трактовать как А, M_j – как В.

Таким образом, ментальное многообразие, на основе которого можно интерпретировать логико-философские идеи русской философии всеединства, можно определить как регулярное, правильное булево, экранирующее и (топологически) голоморфное ментальное многообразие с каноническим доминированием. Таким именно является R² –многообразие, в связи с чем мы и привлекали этот достаточно простой пример для иллюстрации идей логики всеединства. Такого рода ментальные многообразия будем называть ментальными многообразиями со всеединством.

Если на пространстве Х из топологического пространства <Х,> определена мера множеств, то условия модели могут определяться с привлечением идеи меры. Именно, в модели mM_i для множества M_iM_i, сопоставленного рефлексивной моде M_iM_i, определяется максимальная мера, и меры множеств M_jM_i, j  i, сопоставленных модам M_jM_i,согласовываются с этой мерой. Т.о. с переходом от одной модели к другой происходят “пересчеты” мер, что в случае нормированных мер предстает как перенормировка мер.

Возможно также, что условия экрана модели связаны не только с мерой, но и с некоторой структурой (например, с формой, как в случае R²-многообразия). В этом случае необходимо введение более частных средств, обеспечивающих реализацию экранной структуры на M_iM_i и согласование с нею структур M_jM_i, где i  j.

Экраном модели мы называем совокупность факторов, обеспечивающих абсолютизацию модели: переход к модам от модусов, к максимальной мере и структуре. Эти факторы обеспечивают L-статус в рамках модели, т.е. обеспечить L-статус и стать экраном модели – это одно и то же.

Если  – ментальное многообразие со всеединством, то для  может быть построено изоморфное (относительно общего определения) ему ментальное многообразие D, не содержащее никаких дополнительных средств определения. В общем случае возможен целый спектр дополнительных средств обеспечения ментального многообразия над D, выходящий за рамки указанного нами (форм и степеней всеединства: например, можно идеей бесконечно-малых пытаться передать состояние голоморфности моды, ввести средства для выражения предельности (см. Приложение 5), сопоставить модам измеримые множества и определить R-отображения на мерах этих множеств – таково растягивание областей в R­² -многообразии (см. также 20), и т.д.), но по крайней мере логика мод (т.е. соответствие общему определению) в любом случае будет составлять некоторое минимальное и общее всем видам ментальных многообразий требование. Здесь мы не ограничились только рамками логики мод при описании ментального многообразия, в связи с более содержательными средствами усовершения множественности в русской философии всеединства.