10.3. Аналитическое сложение трех векторов

Пусть заданы три вектора , и (рис. 10.10), и пусть нам известны разложения трех векторов на их проекции:

; ; .

Из графического суммирования хорошо видно, что проекции результирующего вектора

,

З

Рис. 10.10

десь

Разность векторов , и можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:

,

здесь

Пример 10.4. Вычислить равнодействующую системы сходящихся сил , , , приложенных в точку О (рис. 10.11), аналитически, если .

Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действия заданных векторов.

Рис. 10.11

Вычислим проекции заданных векторов на оси :

Имеем:

, .

10.4. Радиус-вектор

Радиус-вектор вводится для описания движений любого объекта.

В

Рис. 10.12

ыберем неподвижную точку и проведем через нее произвольно ось . Тогда положение точки на траектории, например , можно определить расстояние между точкой и точкой О, а также . Можно сказать, что величина и направление вектора изменяюся вместе с изменением абсолютного времени, т.е. скалярного параметра . Изменение длины фиксируется модулем вектора, а направление – углом . Функция называется радиус–вектором скалярного аргумента (рис. 10.13) и обозначается.

.

П

Рис. 10.13

усть точка движется по траектории (рис. 10.13). Ее положение в момент времени определяется вектором , а в момент времени – . Тогда смешение точки за время определяется разностью

.

При изменении параметра конец вектора опишет некоторую кривую, называемую, называемую годографом (записыватель пути) вектора, т. е. траекторию.

Радиус–вектор можно разложить по базисным векторам , , прямоугольной пространственной системы координат (рис. 10.14):

,

причем компоненты являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.

Если t означает время, то фиксирует положение материальной точки в пространстве в любой момент времени, т.е. характеризует движение материальной точки, а годограф радиус-вектора соответствует траектории движения точки.

Рис. 10.14	Рис. 10.15

Пусть точка движется в плоскости . Совместим с точкой начало плоской декартовой системы, а ось с осью (рис. 10.15). В плоской декартовой системе координат радиус–вектор раскладывается по базисным векторам , так

.

Причем, компоненты

являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.

10.5. Полярная система координат

В полярной системе координат положение геометрической точки А на плоскости определено радиус-вектором, расположенным в плоскости, в которой заданы два параметра: . Эти параметры определяют полярные координаты . Причем, параметр определяет расстояние от точки А до заданного полюса О, а полярный угол – угол между прямой АО и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью ), рис. 10.16, а. Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Рис. 10.16

Формулы, связывающие координаты точки в одной системе с ее координатами в другой, называют преобразованием координат. Приведем формулы преобразования между полярной и декартовой системами координат. Совместим полярную ось с осью Оx, тогда (рис. 10.16, б):

Пример 10.5.. Движение точки задано радиус-вектором :

(а)

Построить траекторию, вычислить положение точки на траектории для моментов времени

, .

Решение. Исключая из уравнений движения (а) параметр t, получим уравнение траектории в полярных координатах:

r=.

Это уравнение описывает движение точки А по лучу , вращающемуся около полюса О. Для

Для вычисления других значений запишем в таблицу 10.1 связь угловой и радианной меры измерения углов.

Определим полярную ось и отложим с шагом лучи, рис. 10.17. Откладываем вдоль лучей соответствующие значения радиуса , соединим полученные точки, получим кривую, которая называется спиралью Архимеда (рис. 10.17).

Таблица 10.1

Угол	Радиан	Угол	Радиан
0	0

Продолжение таблицы 10.1

Запишем в таблицу 10.2, а, б значения и .

Таблица 10.2

	0,26	0,52		0,78					1,57
	0,26	0,52		0,78					1,57
	1,83	2,09	2,35							3,14
	1,83	2,09	2,35							3,14

Точка при занимает положение с координатами: ( ).

Точка при занимает положение с координатами:

Рис. 10.17