§ 1. Основные понятия

1.1. Координатная плоскость

К

Рис. 1.1

оординатная плоскость, или плоская прямоугольная декартова система координат, задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями координат, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной длины (масштаб). Точка О – точка пересечения осей координат – называется началом координат. Горизонтальная ось Ох называется осью абсцисс, вертикальная ось Оу – осью ординат (рис. 1.1). Оси Ох и Оу создают координатную плоскость .

Существуют правосторонняя (правая) и левосторонняя (левая) системы координат. В правосторонней (правой) системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси вверх ось смотрела направо. В левосторонней (левой) системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси вверх ось смотрела налево.

В механике (раздел физики, изучающий движение) наиболее распространена правосторонняя (правая) декартова система координат.

В этой системе координат направления осей (кинематическая интерпретация) задаются правилами:

– движение слева на право (по направлению оси ) и снизу вверх (по направлению оси ) считается положительным, справа налево – отрицательным;

– вращение оси Оx против часовой стрелки до совмещения ее с осью Оy считается положительным, вращение по часовой стрелке – отрицательным.

К

Рис. 1.2

оординатная плоскость разделена осями и на четыре части (I, II, III, IV), которые называются координатными углами, четвертями или квадрантами (рис. 1.2):

– точки внутри квадранта (четверти) I имеют положительные абсциссы и ординаты;

– точки внутри квадранта (четверти) II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты;

– точки внутри квадранта (четверти) III имеют отрицательные абсциссы и ординаты;

– точки внутри квадранта (четверти) IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Числа и , определяющие положение точки с помощью системы отрезков, параллельных осям Ох и Оу, на координатной плоскости , называются координатами этой точки, рис. 1.2. Запись означает, что точка имеет абсциссу и ординату . Координаты точки считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, в каком квадранте (четверти) находится точка.

Пример 1.1. Определить координаты точек A, B, C и D (рис. 1.3).

Решение. Из точек A, B, C и D проведем прямые, параллельные оси , до пересечения с осью Оx; точки пересечения прямых и оси абсцисс определят координаты точек на ось :

Рис. 1.3

Затем проведем прямые, параллельные оси , до пересечения с осью ; точки пересечения прямых и оси ординат определят координаты точек на ось :

В результате получили, что каждой точке соответствует пара чисел, координаты точек на оси и , соответственно:

, , , .

1.2. Углы и их измерение

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. Два равных по длине луча и , исходящие их точки , определяют внутреннюю область угла , другая часть плоскости – внешнюю область (рис. 1.4, а). Кинематическое представление внутреннего угла определяется как «путь», описанный лучом, вращающимся в плоскости вокруг точки ; при этом стороны и определяют начальное и конечное положения вращающегося луча.

Рис. 1.4

Внутренний угол принято называть центральным углом.

Определение: центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами.

Пусть путь, пройденный лучом, определяет дугу , опирающуюся на угол . Тогда, если

– центральный угол , то этот угол называется развернутым;

– центральный угол между лучами и равен , то этот угол называют прямым, рис.1.4, б.

– лучи и совпадают, то в этом случае говорят о двух взаимно дополнительных углах: нулевом и полном (рис. 1.4, в). Полный угол равен , при этом длина дуги соответствует длине окружности .

Н

Рис. 1.5

а практике за единицу измерения углов принимают угол, равный части полного угла, или части прямого угла – этот угол называется градусом. Каждый градус делится на 60 минут (1^о=60'), одна минута делится на 60 секунд (1'=60'').

В градусах задают, например, широту и долготу на земном шаре с помощью градусной сети и ее элементов.

Градусная сеть и ее элементы.

Шарообразная форма Земли и суточное вращение определяют существование на земной поверхности двух неподвижных точек – полюсов. Через полюсы проходит воображаемая земная ось, вокруг которой вращается Земля. На картах и глобусах проводят самую большую окружность – экватор, плоскость которого перпендикулярна земной оси, рис. 1.5. Экватор делит Землю на северное и южное полушария. Длина дуги экватора равна 40075,7 км : 360° = 111,3 км.

Параллельно плоскости экватора условно расположено множество плоскостей. При пересечении их с поверхностью земного шара образуются малые окружности – параллели. Они проводятся на глобусе или карте на определенном расстоянии от экватора и ориентированы с запада на восток. Длина окружностей параллелей равномерно уменьшается от экватора к полюсам. Напомним, что наибольшая она на экваторе, а на полюсах равна нулю.

Земной шар мысленно пересекается воображаемыми плоскостями, проходящими через ось Земли перпендикулярно к плоскости экватора. При пересечении этих плоскостей с поверхностью Земли образуются большие окружности – меридианы. Меридианы можно провести через любые точки земного шара. Все они пересекаются в точках полюсов и ориентированы с севера на юг. Средняя длина дуги меридиана равна 40008,5 км: 360°= 111 км. Направление местного меридиана в любом пункте можно определить в полдень по направлению тени от любого предмета. В северном полушарии конец тени от предмета показывает направление на север, в южном – на юг.