Решение транспортной задачи

Теоретические основы

В общем виде транспортную задачу можно сформулировать следующим образом: в m пунктах отправления A₁, …, A_m находится однородный груз, количество которого равно соответственно a₁, …, a_m единиц. Данный груз необходимо доставить потребителям B₁, …B_n, спрос которых – b₁,…b_n. Стоимость перевозки единицы груза из i-го ( ) пункта отправления в j-й ( ) пункт назначения равен с_ij. Необходимо составить план перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей в грузе, и при этом суммарные транспортные издержки минимальны.

Математически транспортную задачу можно записать так:

Таким образом, даны система ограничений (2) при условии (3) и линейная функция (1). Требуется среди множества решений системы (2) найти такое неотрицательное решение, которое доставляет минимум линейной функции (1).

Модель транспортной задачи называют закрытой (сбалансированной), если суммарный объем груза, имеющегося у поставщика, равен спросу потребителей, т.е. выполняется равенство:

.

Если для транспортной задачи выполняется одно из условий:

,

то модель задачи называют открытой (несбалансированной).

Для разрешимости транспортную задачу с открытой моделью следует преобразовать в закрытую.

Если выполняется условие , то необходимо ввести фиктивный (n+1) –й пункт назначения B_n+1,т.е. в матрицу задачи вводится дополнительный столбец. Спрос фиктивного потребителя принимается равным . Стоимость перевозок продукции полагается одинаковой, чаще всего равной нулю (если не задана стоимость складирования продукции), т.е. .

Если выполняется условие , то необходимо ввести фиктивного (m+1)-го поставщика A_m+1,т.е. в матрицу задачи вводится дополнительная строка. Запас груза данного поставщика принимается равным . Стоимость перевозок продукции полагается одинаковой, чаще всего равной нулю (если не задана стоимость штрафов за недопоставку продукции), т.е. .

При преобразовании открытой задачи в закрытую целевая функция не меняется, так как все слагаемые, соответствующие дополнительным перевозкам, равны нулю.

Пример решения.транспортной задачи с пояснениями

Производство продукции осуществляется на четырех предприятиях, а затем развозится в 5 пунктов потребления. Предприятия могут выпускать в день 235, 175, 185 и 175 единиц продукции. Пункты потребления готовы принимать ежедневно 125, 160, 60, 250 и 175 единиц продукции. Хранение на предприятии единицы продукции обходится в 2 у.е. в день, штраф за недопоставленную продукцию – 3,5 у.е. в день. Стоимость перевозки единицы продукции (в у.е.) с предприятий в пункты потребления приведена в таблице 7.6.

Таблица 7.6

Транспортные расходы

Предприятия	Пункты потребления
	1	2	3	4	5
1	3,2	3	2,35	4	3,65
2	3	2,85	2,5	3,9	3,55
3	3,75	2,5	2,4	3,5	3,4
4	4	2	2,1	4,1	3,4

Решение

1. Проверка сбалансированности модели задачи – модель является сбалансированной, так как суммарный объем производимой продукции в день равен суммарному объему потребности в ней:

235+175+185+175 = 125+160+60+250+175.

Поэтому при решении этой задачи не учитываются издержки, связанные со складированием и недопоставкой продукции.

2. Построение математической модели – неизвестными в этой задаче являются объемы перевозок. Пусть x_ij – объем перевозок с I-го предприятия в j-й пункт потребления. Суммарные транспортные расходы – это функционал качества (критерий цели):

где c_ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-го предприятия в j‑й пункт потребления.

Неизвестные в этой задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

• объемы перевозок не могут быть отрицательными;

• поскольку модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с предприятий, а потребности всех пунктов потребления должны быть полностью удовлетворены.

Итак, имеем следующую задачу:

• найти минимум функционала:

• при ограничениях:

где a_i – объем производства на i–м предприятии, b_j - спрос в j-м пункте потребления.

3. Решение задачи с помощью окна Поиск решения.

3.1. Подготовку рабочего листа для задачи осуществляем в соответствии с рис.4, формулы для расчета приведены в таблице 2.

3.2. Ввод данных в окно Поиск решения производим в соответствии с рис.5.

3.3. Полученное оптимальное решение представлено на рис. 6.

Рис. 4. Исходные данные для решения транспортной задачи

Таблица 2

Формулы для расчета в транспортной задаче

Описание	Ячейка	Формула
Ограничения_1	G11	=СУММ(B11:F11)
	G12	=СУММ(B12:F12)
	G13	=СУММ(B13:F13)
	G14	=СУММ(B14:F14)
Ограничения_2	B15	=СУММ(B11:B14)
	C15	=СУММ(C11:C14)
	D15	=СУММ(D11:D14)
	E15	=СУММ(E11:E14)
	F15	=СУММ(F11:F14)
	B19	=СУММПРОИЗВ(B5:F8;B11:F14)

Рис. 5. Ввод данных в окно Поиск решения для транспортной задачи

Рис. 6. Оптимальное решение для транспортной задачи

Дополнительные разъяснения:

Т.к. задача Вашего варианта является несбалансированной, то предварительно Вы должны привести задачу к сбалансированному виду.

Если (cм. Рис.4) сумм(Н11:Н14)>сумм(B17:F17), то нужно вставить столбец G (щёлкнуть на любой ячейке столбца G правой клавишей. Вставить. Столбец. (Столбцы вставляются левее места, где стоит курсор)). В ячейках G5:G8 установить стоимость перевозки 0. В ячейку G17 записать число, соответствующее разнице в балансах, т.е. сумм(Н11:Н14) минус сумм(B17:F17) и решать задачу как сбалансированную.

Если сумм(B17:F17)>сумм(Н11:Н14), то нужно вставить строку 15 и строку 9 (щёлкнуть на любой ячейке строки 15или 9 правой клавишей. Вставить. Строку. (Строки вставляются выше места, где стоит курсор)). В ячейках В9:F9 установить стоимость перевозки 0.В ячейку G17 записать число, соответствующее разнице в балансах, т.е. (после вставки строк) сумм(B18:F18)минус сумм(Н12:Н16) и решать задачу как сбалансированную.

Результаты отразить набором текста в Word (математическая модель), копированием из Excel построенной таблицы (можно PrtScr), запуск выполнения отразить через PrtScr, а также три вида отчётов.

Примечание. Если в Excelотсутствует Поиск решения в Office 2007 меню Данные, нажмёте, открыв Excel, кнопку Office (цветная кнопка в левом верхнем углу экрана). Параметры. Надстройка. Перейти. Установите флажок – Поиск решения.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7