Проверить это утверждение.
Перейти на лист Исх. Изменить запас комплектующих (ячейка H7) на 4299, а в ячейку H5 ввести формулу: =6000+500/140.
Выполнить пункт меню Сервис – Поиск решения. Нажать кнопку Выполнить. Появится диалоговое окно Результата поиска решения. Не закрывая этого окна, посмотреть на полученный результат: структура выпуска не изменилась, но изменился объем выпуска. Значение целевой функции осталось прежним (2 990 000 руб.).
Отметить в диалоговом окне Результата поиска решения пункт Восстановить исходные значения и нажать кнопку ОК. Вернуть в ячейки H5 и H7 исходные значения 6000 и 4300 соответственно.
Если бы не хватало 10 шт. комплектующих, то запасы сырья пришлось бы увеличить на 3,57 ∙ 10 35,7 кг.
Еще раз подчеркнем, что такая замена может осуществляться только в небольших объемах, при этом меняются пропорции выпуска, но сохраняется величина целевой функции.
Выводы:
1. Если ресурс израсходован полностью (является дефицитным)
- Изменение запаса ресурса внутри интервала устойчивости не меняет структуру, но меняет объемы выпуска и, соответственно, величину целевой функции.
- Выход величины запаса ресурса за границу интервала устойчивости приводит к изменению структуры выпуска, объемов выпуска и величины целевой функции.
2. Если ресурс имеется в избытке (не является дефицитным)
- Изменение запаса ресурса внутри интервала устойчивости в выпуске продукции ничего не меняет: сохраняются структура выпуска, объемы выпуска и величина целевой функции.
- Выход величины запаса ресурса за нижнюю границу интервала устойчивости (верхняя граница для избыточного ресурса всегда равна бесконечности) приводит к изменению структуры выпуска, объемов выпуска и снижению величины целевой функции.
Пример 2.
Усложним условие задачи, рассмотренной в рамках примера 1.
Пусть предприятие для производства изделий привлекает квалифицированных рабочих своего предприятия на условиях почасовой оплаты труда (150 руб./чел.-час.). Помимо этого в контракте оговорено, что потребность в продукте В составляет не менее 100 шт.
Перейти на лист Исх2.
Замечание: На листе Исх2 зарезервированы две ячейки: под общую оплату труда (С16) и прибыль от реализации продукции (С17). В качестве целевой функции теперь выбирается прибыль (разница между выручкой и затратами на оплату труда).
Выполнить: Ввести в ячейки С16 и С17 формулы:
-
Ячейка
Формула
С16
=150*J8
С17
=С15-С16
По условию задачи известна цена реализации каждой единицы новой продукции, поэтому с учетом управляемых переменных можно записать выражение для суммарной выручки от продаж, которую получит предприятие после реализации всех произведенных изделий.
Замечание: Теперь коэффициентами целевой функции являются не цены реализации изделий, а разница между ценой и затратами на оплату труда при производстве определенного вида продукции.
В нашем случае Х1 – объем выпуска изделия А, его цена – 2 580 р., тогда 2 580 ∙ Х1 – это ожидаемая денежная сумма от реализации всех произведенных изделий А. Нормы затрат труда на производство единицы продукции А составляет 9 чел.-час. Следовательно, для производства А в объеме Х1 потребуется 9 ∙ Х1 чел.-час. Затраты на оплату труда составят – 150 ∙ 9 ∙ Х1 руб.
Аналогично определяется прибыль от реализации для всех остальных изделий.
В результате можно записать математическое выражение для расчета суммарной прибыли:
Z = (2 580 - 150∙ 9) Х1 + (1 780 - 150∙ 4) Х2 + (2 850 - 150∙ 5) Х3 + (1 480 - 150∙ 4) Х4 + (1 700 - 150∙ 8) Х5
или
Z = 1 230 ∙ Х1 + 1 180 ∙ Х2 + 2 100 ∙ Х3 + 880 ∙ Х4 + 500 ∙ Х5 .
Замечание: Помимо ограничений на ресурсы, в данной постановке задачи есть также плановое ограничение на выпуск изделия B:
Х2 100.
Теперь коэффициентами целевой функции являются не цены реализации изделий, а разница между ценой и затратами на оплату труда при производстве определенного вида продукции.
После того, как математическая модель задачи сформирована, можно приступить к процедуре поиска решения.
Выполнить: пункт меню Сервис – Поиск решения.
Заполнить диалоговое окно по образу:
Для выбора метода решения необходимо нажать кнопку Параметры. В открывшемся окне диалога Параметры поиска решения установить флажки в полях Линейная модель и Неотрицательные значения.
После ввода параметров модели нажать кнопку ОК и система вновь возвращается в окно диалога Поиск решения.
Для получения численного решения задачи следует нажать кнопку Выполнить. В появившемся окне диалога следует в поле Тип отчета отметить позиции Результаты и Устойчивость и нажать ОК:
В результате на листе, содержащем математическую модель задачи, выводится оптимальное решение задачи - значения управляемых переменных, максимальная величина целевой функции и значения фактически используемых ресурсов:
Из таблицы видно, что максимальная прибыль от реализации продукции составляет 2514667 рублей, при условии, что будут выпускаться изделия В, С и D в объемах 100, 733 и 167 ед. соответственно. Изделия А и Е выпускать нецелесообразно. Из таблицы по фактически затратам ресурсов видно, что полностью израсходованы ресурсы сырья и комплектующие, а оборудование и трудовые ресурсы опять оказались в избытке.
Перед исходным листом в результате решения задачи поиска оптимального решения и выбора форм отчетности были созданы 2 листа отчетов: Отчет по результатам 2 и Отчет по устойчивости 2.
Обратим внимание на анализ нового вида ограничения – планового.
Перейти на лист Отчет по результатам 2.
Напомним, что ограничения, которые по результатам решения выполняются как строгие равенства, имеют статус «связанное», в противном случае – «не связанное». В столбце Разница указана разница между правой и левой частями ограничений. Для плановых ограничений это перевыполнение плана по выпуску продукции. В нашем случае изделие В выпускается строго в плановом объеме, так как разница равна нулю.
Перейти на лист Отчет по устойчивости 2.
Напомним, что в таблице Изменяемые ячейки содержится информация об объемах выпуска каждого из пяти видов продукции (столбец Результирующее значение). Столбец Целевой коэффициент содержит коэффициенты перед управляемыми переменными в целевой функции Z. В данном случае, целевые коэффициенты – это прибыль от реализации единицы соответствующей продукции (естественно совпадают с ранее рассчитанными коэффициентами).
Напомним, что нормированная стоимость показывает величину изменения целевой функции при увеличении соответствующей управляемой переменной на одну единицу. В нашем случае дополнительный плановый выпуск одного изделия В сократит величину целевой функции на 6,67 руб.
Напомним, что для изделий, не вошедших в выпуск (здесь А и Е), нижняя граница интервала устойчивости равна минус бесконечности (–1Е+30). Это означает, что никакое сокращение целевых коэффициентов этих изделий в выпуске продукции ничего не изменит.
Замечание: Для изделия, вошедшего в выпуск (В), нижняя граница интервала устойчивости также равнее –1Е+30, т.е. никакое сокращение его целевого коэффициента в выпуске продукции также ничего не изменит. Это связано с тем, что в математической модели присутствует плановое ограничение на выпуск изделия В и его выпуск нельзя сократить ниже 100 ед., не нарушив условий модели.
Ответить на вопросы на листе Исх2.
Комплектная модель в задачах оптимизации
Если в процессе решения задачи выдается сообщение: «Поиск не может найти подходящего решения», значит система ограничений задачи несовместна. Как правило, это связано с тем, что имеющихся ресурсов не хватает для выпуска продукции в требуемом объеме.
Пример 3.
Изменим условие задачи, рассмотренной в рамках примера 2.
Предположим, что по условиям контракта изделие В должно выпускаться в объеме не 100, а 1 500 шт.
С учетом скорректированного планового ограничения математическая модель задачи не имеет допустимого решения, так как запас ресурсов не позволяет выпустить изделие В в заданном плановом объеме.
Проверить, что при заданном плановом ограничении оптимальное решение не может быть найдено. На листе Исх2 Выполнить пункт меню Сервис – Поиск решения. Изменить плановое ограничение. Нажать кнопку Выполнить. Появится диалоговое окно Результата поиска решения с информацией, что поиск не может найти подходящего решения.
Отметить в диалоговом окне Результата поиска решения пункт Восстановить исходные значения и нажать кнопку ОК.
В этом случае от решения исходной задачи следует перейти к решению задачи в комплектной постановке. Для этого в исходную модель добавим новую переменную, обозначим ее Y. Величина Y будет определять ту долю планового задания, которое можно выполнить на имеющихся ресурсах. Очевидно, что выполняемая доля планового задания должна максимизироваться. Если Y – выполняемая доля планового задания, то произведение 1 500 · Y – тот объем планового задания, который можно выполнить на имеющихся ресурсах. Математическая модель задачи в комплектной постановке позволяет определить максимально возможный процент выполнения плана на имеющихся ресурсах.
Перейти на лист Исх3.
Правила построения комплектной модели:
1) к числу управляемых переменных добавляется переменная Y. Для этого на листе Исх3 зарезервирована ячейка С19:
2) целевая функция комплектной задачи предполагает максимизацию выполняемой доли планового задания Y;
Z = Y max,
3) ресурсные и технологические ограничения задачи записываются в комплектную модель без изменений;
4) комплектная переменная Y добавляется только в плановые ограничения.
X2 ≥ 1 500 ∙ Y.
Заполнить окно Поиск решения по образцу:
Для выбора метода решения необходимо нажать кнопку Параметры. В открывшемся окне диалога Параметры поиска решения установить флажки в полях Линейная модель и Неотрицательные значения.
После ввода параметров модели нажать кнопку ОК и система вновь возвращается в окно диалога Поиск решения.
Для получения численного решения задачи следует нажать кнопку Выполнить. В появившемся окне диалога следует в поле Тип отчета отметить позиции Результаты и Устойчивость и нажать ОК:
Перейти на лист Отчет по результатам 3:
Как видно из решения задачи, на имеющихся ресурсах плановое задание на изделие В выполняется на 95,6%, т.е. есть возможность выпустить только 1 433 ед. Недовыполнение плана связано с тем, что имеющийся запас комплектующих полностью израсходован на выпуск 1 433 ед. изделия В. При этом запасы сырья, фонд времени оборудования и трудоресурсы являются избыточными ресурсами. Сырья осталось 3 133 кг, неизрасходованный фонд времени оборудования составляет 3 200 ст.-час и неизрасходованные трудоресурсы составляют 5267 чел.-час.
Если у предприятия нет средств на наращивание запаса комплектующих, то следует скорректировать с заказчиком объем планового задания, т.е. оговорить в контракте выпуск изделия В в объеме не более 1 433 ед. Если заказчик согласен, то в модели исходной задачи вместо планового ограничения X2 ≥ 1 500 следует записать ограничение X2 ≥ 1 433.
t-модель в задачах оптимизации
Пример 4.
Предположим, у предприятия есть возможность увеличить имеющиеся запасы ресурсов (в данном случае комплектующих). Чтобы определить необходимый объем наращивания ресурсов, переходят к решению так называемой t-модели.
Перейти на лист Исх4.
Правила построения t-модели:
1) к числу управляемых переменных добавляются переменные ti, каждая из которых определяет недостающий объем соответствующего i-го ресурса (в нашем случае: t1 – недостающий объем сырья, t2 – недостающий фонд времени оборудования, t3 – недостающий объем комплектующих, t4- недостающие трудоресурсы). Для этого на листе Исх4 зарезервированы ячейки L5:L8:
2) целевая функция задачи является условной величиной, представляющей собой сумму недостающих объемов всех ресурсов (в нашем случае t1 + t2 + t3+ t4). Эта условная величина должна минимизироваться:
Т = t1 + t2 + t3 + t4 min,
Для новой целевой ячейки зарезервирована ячейка С19:
Ввести в эту ячейку формулу: =СУММ(L5:L8)
3) плановые и технологические ограничения задачи записываются в t-модель без изменений;
4) переменные ti добавляются только в ресурсные ограничения. К имевшемуся изначально запасу ресурса добавляется недостающий объем ресурса.
6 ∙ Х1 + 2 ∙ Х2 + 7 ∙ Х3 + 4 ∙ Х4 + 5 ∙ Х5 ≤ 6 000 + t1
5 ∙ Х1 + 3 ∙ Х2 + 4 ∙ Х3 + 5 ∙ Х4 + 4 ∙ Х5 ≤ 7 500+ t2
4 ∙ Х1 + 3 ∙ Х2 + 5 ∙ Х3 + 2 ∙ Х4 + 2 ∙ Х5 ≤ 4 300+ t3
9 ∙ Х1 + 4 ∙ Х2 + 5 ∙ Х3 + 4 ∙ Х4 + 8 ∙ Х5 ≤ 11 000+ t4
Заполнить окно Поиск решения по образцу:
Для выбора метода решения необходимо нажать кнопку Параметры. В открывшемся окне диалога Параметры поиска решения установить флажки в полях Линейная модель и Неотрицательные значения.
После ввода параметров модели нажать кнопку ОК и система вновь возвращается в окно диалога Поиск решения.
Для получения численного решения задачи следует нажать кнопку Выполнить. И сохранить найденное решение без вывода отчетов.
Как видно из результатов решения, переменная t3 равна 200, а остальные равны нулю, что означает необходимость увеличения исходного объема комплектующих на 200 шт. для выполнения планового задания.