3. Операции над событиями.

Определение. Объединением или суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Для несовместных событий А и В появление хотя бы одного из них означает появление события А или события В.

Для совместных событий А и В появление хотя бы одного из них означает появление события А, события В или обоих событий вместе.

Например, предположим, что в урне имеются 5 белых шаров, 3 черных, 2 в полоску и 7 в клетку. Из урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он одноцветный.

Решение. Сформулируем события:

А= «Извлеченный шар – белый»

В= «Извлеченный шар – черный»

А+В= «Извлеченный шар – одноцветный (черный или белый)».

_{Так как событию А+В благоприятствуют 8 исходов, а число всех шаров в урне равно 17, то по классическому определению вероятности события}

Эту же вероятность можно найти по-другому:

После рассмотрения этого примера можно сформулировать следующую теорему.

Теорема (сложения вероятностей).

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Определение. Пересечением или произведением событий А·В событий А и В называется событие, которое заключается в том, что произошло и событие А и событие В.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Условные вероятности

Часто возникает необходимость определить вероятность события А после того, как стало известно, что произошло некоторое событие В. Так, если нам нужно определить вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости, а известно, что выпало число очков, меньшее 4; это означает, что наступлению интересующего нас события благоприятствует только один из трех возможных исходов.

Определение. Условной вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется отношение числа тех благоприятствующих А исходов, которые благоприятствуют и В, к числу всех исходов, благоприятствующих В:

Здесь k — число исходов, благоприятствующих событию AB , m— число исходов, благоприятствующих событию B из общего числа N исходов.

Если B — невозможное событие, то будем считать, что вероятность не определена.

Заметим, что

Поэтому

Эта формула служит определением условной вероятности в общем случае.

Пример. Брошено две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на 5.

Решение. Пусть событие — выпало две пятерки, событие — сумма выпавших очков делится на 5. Различных комбинаций выпавших очков 36. Ясно, что

Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема (умножения вероятностей).

Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Также можно записать:

Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

Примеры.

1. На карточках написаны буквы А А А Н Н С. Одна за другой вынимаются карточки и прикладываются друг к другу. Найти вероятность того, что получится слово АНАНАС.

Решение.

Сформулируем события:

А= «Получилось слово АНАНАС»,

А₁ = «первая извлеченная буква А»

А₂ = «вторая извлеченная буква Н»

А₃ = «третья извлеченная буква А»

А₄ = «четвертая извлеченная буква Н»

А₅ = «пятая извлеченная буква А»

А₆ = «шестая извлеченная буква С»,

Тогда А = А₁ А₂ А₃ А₄ А₅ А₆, но события Аi – зависимые события, поэтому искомую вероятность найдем по теореме об умножении вероятностей с учетом условной вероятности, т.е.

2. Отдел технического контроля проверяет стандартность по двум параметрам серии изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

Решение.

Рассмотрим следующие события:

А= «у изделия не выдержан первый параметр»

В= «у изделия не выдержан второй параметр»

С= «изделие не удовлетворяет стандарту».

Событию А благоприятствуют 8+3=11 исходов, событию В благоприятствуют 6+3=9 исходов, событию АВ, состоящему в том, что в взятой детали не выдержаны оба параметра, благоприятствуют 3 исхода.

_Тогда

_{3. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок – мальчик, родится второй мальчик.}

_{Решение.}

Рассмотрим следующие события:

А= «в семье один ребенок - мальчик»

В= «в семье второй ребенок - мальчик»

АВ= «в семье два мальчика»

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик, мальчик и девочка, девочка и мальчик, девочка и девочка. Тогда