Дисперсионный анализ

Анализ особенностей изменчивости признаков и свойств растения показывает, что они обусловлены многими факторами (внешней средой, особенностями генотипа, случайными причинами). Для определения степени влияния и роли отдельных факторов в общей изменчивости признака или свойства растения используют дисперсионный анализ. Сущность его состоит в разложении величин общей изменчивости признака на составные части, с одной стороны, определяемые изучаемыми конкретными факторами, а с другой - вызываемые случайными, неконтролируемыми причинами. Изменчивость в этом случае характеризуется двумя величинами: суммой квадратов отклонений от средней и числом степеней свободы. Основой метода дисперсионного анализа является вычисление одной усредненной ошибки общей средней, вместо индивидуальных ошибок средних каждого варианта. Усредненная ошибка общей средней используется для оценки различия между вариантами.

Дисперсионный анализ позволяет оценить - реально ли влияние отдельного фактора или ряда факторов на изменчивость признака или этот эффект можно считать результатом случайных ошибок. Если полученная в результате анализа факториальная дисперсия больше случайной, то можно с уверенностью сказать, что факторы достоверно различаются между собой; если ниже случайной - достоверные различия отсутствуют.

Анализ однофакторного_опыта с повторениями.

Например, требуется установить достоверность различия средних урожаев двух сортов. Ниже приведены величины урожаев этих сортов по повторениям:

Сорт	Повторения				Xi	Xi
	1	2	3	4
A	8	6	8	10	32	8
B	12	12	10	14	48	12
Xj	20	18	18	24	Х…=80
Xj	10	9	9	12	Х…=10

Условные обозначения:

Xi – сумма по росту;

Xi – среднее по росту;

Х…- общая сумма:

Xj – сумма по повторению;

Xj – среднее по повторению;

Х…- средний урожай в опыте.

Анализ складывается из следующих этапов:

• суммирование всех данных по строкам (Xi);

• суммирование всех данных по столбцам (Xj);

• суммирование всех данных по опыту (Х…);

• вычисление корректирующего фактора (С):

N – число сортов (вариантов);

N – число повторений;

• вычисление суммы квадратов данных урожаев по каждой делянке (Xij):

Х²ij = 8²+6²+8²+10²+12²+12²+10²+14² = 848,

• вычисление суммы квадратов сумм по повторениям:

Х²j = 20²+18²+18²+24² = 1624,

• вычисление суммы квадратов сумм по сортам:

Х²i = 32²+48² = 3328,

общей – SS_общ. = Х²ij – С = 848-800 = 48

повторений – SS_повт. =

вариантов(сортов) SS_вар. =

случайные ошибки – SS_случ. = SS_общ. - SS_повт. - SS_вар. = 48-12-32=4.

Таблица дисперсионного анализа.

Источник изменчивости	Сумма квадратов отклонений	Степень свободы df	Средний квадрат mS	F
				фактическое	табличное
Общий	48	(Nn-1) = 7	---
Повторения	12	(n-1) = 3
Варианты (сорта)	32	(N-1) = 1			10,1
Случайные ошибки	4	(N-1)(n-1) =3

- вычисление ошибки средней в опыте:

= = 0,57 ц/га;

• определение ошибки разности средних:

для попарного сравнения:

SL = = 0,57*1,41=0,8 ц/га

Для сравнения со средним урожаем в опыте:

SL = = 0,57 = 0,4 ц/га

• определение наименьшей существенной разности (НСР):

НСР = Sj*t ц/га или НСР % =

Примечание. Значение критерия Стьюдента (t) берется из таблицы для числа степеней свободы ошибки (N-1)(n-1) при уровне значимости 0,05.

Таким образом, при парном сравнении в нашем:

НСР = 0,80 х 3,2 = 2,56 ц/га или

НСР = = 25,6 %

Наименьшая существенная разность при сравнении со средним урожаем в опыте будем иметь другие величины:

НСР = 0,40 х 3,2 = 1,28 ц/га и

НСР = = 12,8 %

Точность опыта будет равна:

Р =

По результатам анализа составляют сводную таблицу результатов опыта:

Сорт	Средний урожай, ц/га	Отклонение		Группа при сравнении
		от среднего урожая	от стандарта	со средним урожаем	со стандартом
А (стандарт)	8	-2,0	---	III	---
В	12	2,0	4	I	I

I группа – больше НСР, отклонение с положительным знаком;

II группа – не превышающие величину НСР, отклонения положительные и отрицательные;

III группа – меньше НСР, отклонения с отрицательным знаком.

Анализ двухфакторного опыта с повторениями.

Например, различны сорта (А) высевались на удобренном и не удобренном фонах (В). урожайность отдельных сортов в этом поле может быть обусловлена: сортовыми особенностями, фоном удобрений, а также их взаимодействием. Дисперсионный анализ в этом случае позволяет установить:

• сортовые отличия независимо от фона выращивания;

• эффективность фонов для каждого сорта в отдельности;

• эффект взаимодействия сортовых особенностей и фона выращивания.

Общая изменчивость урожайности сорта в опыте, рассматриваемая в виде разложения общей вариации (SS_общ.) будет иметь вид не SS_общ. = SS_А.+ SS_случ. , а SS_общ.= SS_А.+ SS_В.+ SS_АВ.+ SS_случ. , где SS_АВ – изменчивость, обусловленная взаимодействием факторов А и В (сортовыми особенностями и удобренным фоном).

В таких двухфакторных экспериментах наблюдения могут быть расположены в таблице, где каждая градация фактора А еще разделена на градации фактора В. В ячейки, расположенные на пересечении столбцов – повторений и строк-факторов, записываются наблюдения, полученные при одновременном исключении сортов на двух фонах:

Фактор А, сорт	Фактор В	Повторения		Xij	X2ij
		I	II
А1	В1 В2	435 645	470 645	905 1290	819025 1664100
А2	В1 В2	410 540	490 635	900 1175	810000 1380625
А3	В1 В2	300 375	310 515	610 890	372100 792100
А4	В1 В2	390 535	380 540	770 1075	592900 1155625
А5	В1 В2	465 800	565 865	1030 1665	1060900 2772225
А6	В1 В2	225 450	245 410	470 860	220900 739600
А7	В1 В2	185 300	180 275	365 575	1133225 330625
Х.к.		6055	6525	12580
Х2..к		36663025	42575625		Х...= 12580

Уравнение обозначения:

В₁ – фон без удобрения;

В₂ – удобренный фон;

А₁, А₂, А₃ ….А₇ – изучаемые сорта;

Xij – сумма по повторностям (по строкам);

Х…к – сумма по повторениям (по столбцам);

Х…- сумма всех данных в опыте.

Далее вычисляют суммы квадратов отклонений:

Общей: SS_общ. = - С = 435²+470²+645²+300²+275²-5652014 = 6448650-5652014=796635;

Повторений: SS _повт. = = = 5659903,5-5652014,0=7889,5;

Вариантов: SS_вар. = = = = 769961;

Ошибки: SS_случ. = SS_общ. – SS_повт.. – SS_вар.. = 796636,0-7889,5=18785,5.

Условные обозначения:

r_A - число градаций факторов А,

r_B - число градаций факторов В,

n - число повторений,

r_A*r_B*n - число всех делянок в опыте,

Xijk - урожай с делянки (данные таблицы по ряду и в вертикальном столбце),

C - корректирующий фактор,

C =

Полученные результаты используют для построения таблицы начального дисперсионного анализа. При этом число степеней свободы (df) равно:

r_A*r_B*n – 1

df _общ. = r_A*r_B*n – 1 = 7*2*2-1 = 27

df _повт. = n-1 = 1; df _вар. = r_A*r_B – 1 = 7*2-1 = 13

df _случ. = df _общ.- df _повт.- df _вар. = 27-1-13 = 13

Таблица дисперсионного анализа

Источник изменчивости	Сумма квадратов отклонений SS	Число степеней свободы df	Средний квадрат mS	F
				Фактическое	Табличное (0,95)
Общее	796636,0	27	29505,0
Повторения	7889,5	1	7889,5	5,5	4,67
Варианты	769961,0	13	59227,8	41,0	2,64
Случайные ошибки	18785,5	13	1445,0

На этой стадии анализа можно сделать общую оценку результатов опыта – установить наличие существенных различий между вариантами опыта. Эту оценку проводят с помощью критерия F. Сначала находят фактическое отношение среднего квадрата для вариантов и остаточного среднего квадрата:

F _факт. =

Далее по таблице 5% уровня распределения F для сочетания степеней свободы df₁ =13, df₂ =13 находят табличное значение F_табл.=2,64. Это табличное значение F является тем максимальным значением F, которое может возникнуть часто случайным порядком при отсутствии существенных различий между вариантами. F_Факт.=41,0 больше F_табл.=2,64. Следовательно, между вариантами опыта имеются существенные различия.

О действии и взаимодействии факторов можно получить представление, если составить таблицу средних значений признака по градациям двух изучаемых факторов:

Фактор А	Фактор В				Xi	X2i	Xi…
	Не удобренный		Удобренный
	1	2	1	2
А1	435	470	645	645	2195	4818025	548,8
А2	410	490	540	635	2075	4305625	518,8
А3	300	310	375	515	1500	2250000	375,0
А4	390	380	535	540	1845	3404025	461,2
А5	465	565	800	865	2695	7263025	673,8
А6	225	245	450	410	1330	768900	332,5
А7	185	180	300	275	940	883800	235,0
Xij	5050 25502500 360,7		7530 56700900 537,8		12580
X2j
Xj

Последняя колонка (X_i) и последняя строка (X_j) этой таблицы характеризует факторы, когда они берутся сами по себе, в среднем по всем градациям другого фактора. Обычно такие результаты называются главными эффектами факторов. Главный эффект сортов определяется последним столбцом, где даны средние урожаи сортов по фазам выращивания. Видно, что сорт А₅ значительно урожайнее других сортов.

Для установления взаимодействия факторов, т.е. отклонения от суммарного действия однофакторных эффектов необходимо определить суммы квадратов главных эффектов и эффектов взаимодействия.

1. Эффект удобрения. Сумма квадратов отклонения по фактору В:

SS_B =

2. Эффект сортов. Сумма квадратов отклонения по фактору А:

SS_A =

3. Эффект взаимодействия сорта с удобрениями:

SS_AВ = SS_вар. – SS_A – SS_B = 769961,0-521286,0-219657,4=29017,6

В нашей модели градации факторов заранее фиксированы, поэтому дисперсии mS_A, mS_B и mS взаимно независимы. В этом случае значимость факторов А, В и АВ проверяется по отношениям:

F _А/случ.= F _B/случ.= F _АB/случ.=