9. Лестница соединяет точки а и в. Высота каждой ступени равна 12 см, а длина – 35. Из скольких ступеней состоит лестница, если расстояние между точками а и в равно 7,4 м.

Переведем все расстояния в метры, тогда высота ступеньки – 0,12 м, а длина – 0,35 м. Сколько ступенек, мы пока не знаем, пусть их будет n штук. Воспользуемся теоремой Пифагора:  . Имеем:  .

Тогда:   ,

Еще вариант решения: определим “гипотенузу” 1 ступеньки (в см):   см. Переведем в метры: 0,37 м.

Делим теперь расстояние между точками А и В на эту величину:   .

Ответ: 20 ступенек.

 

10. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 и 40 см. Сколько таких дощечек понадобится?

Определим площадь комнаты:  , и площадь паркетной дощечки. Только сначала выразим ее длину и ширину в метрах: 0,1 м и 0,4 м. Тогда:  .

Осталось поделить площадь комнаты на площадь пластинки:  .

Кстати, можно заметить, что 1 делится на 0,04 – то есть можно посчитать количество дощечек, покрывающих 1 квадратный метр, и умножить на 30 – площадь комнаты:  , 

Ответ: понадобится 750 дощечек.

 

11. Сколько коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размерами см можно поместить в кузов машины размерами м?

В этой задаче тоже есть два пути решения. Один – аналогичный предыдущей задаче, то есть решение “в лоб”: считаем объем кузова, считаем объем коробки (не забывая выразить размеры в метрах), и потом делим первое на второе. Этот путь плох тем, что на этапах расчета можно допустить ошибку, поскольку вычислений немало, и предстоит как умножение в столбик, так и деление. Второй способ: прикинуть, сколько коробок уляжется в кузов вдоль, поперек и и высоту. Считаем. Выразим  длину, ширину и высоту коробки в метрах: 0,6 м, 0,7 м и 0,9 м. Заметим, что 2,7 – делится на 0,9, 3,5 – делится на 0,7, а 3 – на 0,6. Тогда вдоль первого измерения ( ) – пусть это будет высота – “ляжет” 3 коробки, вдоль второго ( ) – 5 коробок, и вдоль третьего –  - 5 коробок. Всего коробок:  штук.

 

12. Две трубы, диаметры которых равны 8 и 6 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой будет равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в см.

Определим площади поперечных сечений имеющихся труб. Нам понадобится формула площади круга:  . площадь сечения первой трубы:   , площадь сечения второй трубы:   . Тогда площадь сечения новой трубы будет:   . теперь определим, какого диаметра должна быть новая труба: 

Ответ: 10 см.

 

13. Скло­ны горы об­ра­зу­ют с го­ри­зон­том угол , ко­си­нус ко­то­ро­го равен 0,9. Рас­сто­я­ние по карте между точ­ка­ми  A  и  B  равно 24 км. Опре­де­ли­те длину пути между этими точ­ка­ми через вер­ши­ну горы.

 

Очень важно то, что ОБА склона горы имеют одинаковый наклон к горизонту, таким образом наша гора – равнобедренный треугольник, и поэтому как длина подъема, так и длина спуска – равны. Рассмотрим выделенный синим треугольник. Он прямоугольный, один его катет – высота горы, второй – половина расстояния по карте от пункта А до В (половина потому, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, еще и медиана).

По определению косинуса  , отсюда  – но это только подъем, вместе со спуском длина пути из А в В через гору составит   км.

Ответ: 26,6 км

 

14. Глу­би­на кре­пост­но­го рва равна 10 м, ши­ри­на 7 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 34 м. Длина лест­ни­цы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м боль­ше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лест­ни­цы.

Рассмотрим треугольник, выделенный зеленым цветом. Длина лестницы больше гипотенузы этого прямоугольного треугольника на 2 м. Найдем  гипотенузу по теореме Пифагора: тогда один катет – ширина рва, 7 м, а другой – разность между высотой стены и глубиной рва, то есть 34-10=24 м:

м

Тогда длина лестницы 25+2=27 метров.

Ответ: 27 м.