15. Інтервальні оцінки для параметрів нормального розподілу.

Для знаходження інтервалу довіри, де міститься істинне математичне сподівання, використовують відомий факт, що вибіркове середнє має нормальний розподіл із математичним сподіванням Mx і дисперсією . Тоді величина

 (перетворення Фішера) підпорядкована стандартному розподілу (M t = 0, ). Якщо обсяг вибірки n < 60, то змінна t має розподіл Стьюдента з  d f = n – 1  ступенями вільності:

                                       (5.7)

або

  ^,   

  ^.                           

16. Поняття статистичної гіпотези, статистичного критерію. Помилки першого і другого роду. Рівень значущості критерію.

Статистичний критерій — строге математичне правило, за яким приймається або відкидається та або інша статистична гіпотеза. Побудовою критерію є вибір відповідної функції від результатів спостережень (ряду емпірично набутих значень ознаки), яка служить для виявлення міри розбіжності між емпіричними значеннями і гіпотетичними.^[1]

Визначення

Нехай дано вибірку з невідомо сумісного розподілу , і сім'я статистичних гіпотез . Тоді статистичним критерієм називається функція, що встановлює відповідність між величинами, що спостерігаються, і можливими гіпотезами:

. Таким чином кожній реалізації вибірки статистичний критерій зіставляє найбільш підходящу з точки зору цього критерію гіпотезу про розподіл, що породив дану реалізацію.

Статистичні гіпотези — це гіпотези, що відносяться до виду чи окремим параметрам розподілу випадкової величини.

Опишемо застосовувану при цьому термінологію.

Нехай f(X, θ) — закон розподілу випадкової величини X з деяким параметром θ. Тоді:

·        Н₀ (нульова гіпотеза) — θ = θ₀,

·        Н₁ (альтернативна чи конкуруюча гіпотеза) — θ = θ₁.

Н₀ відхиляється в тому випадку, коли імовірність того, що вона вірна, виявляється нижче деякого рівня, називаного рівнем значимості.

При аналізі гіпотез можливі помилки двох видів:

·        Н₀ відкидається, коли вона вірна.

·        Н₀ приймається, коли вірна Н₁.

Знижуючи рівень значимості ми зменшуємо імовірність помилки першого роду, але при цьому зростає імовірність помилки другого роду. Тому вводиться поняття потужності критерію, що являє собою імовірність відхилення Н₀. Оскільки ця імовірність змінюється при зміні параметрів сукупності (наприклад, розміру вибірки), те звичайно розглядають криву потужності. На мал. 1.1 зображена крива потужності для перевірки біноміальної гіпотези р = 0,5.