2.6 Уравнения Вольтерра

Уравнения Вольтерра отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерра 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

В принципе, уравнения Вольтерра можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерра не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

2.7 Метод сведения к алгебраическому уравнению

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть

,

само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

где

.

Умножив предыдущее равенство на g_i(x) и проинтегрировав его по x на отрезке  , приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел c_i:

где 

и   — числовые коэффициенты.

Пример 4. Решить интегральное уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Здесь  положим:

, .

Тогда

.

Умножим обе части исходного уравнения последовательно на dt и проинтегрируем по t от 0 до 1. Получим

Или

Определитель этой системы

отличен от нуля при любых действительных X.

По формулам Крамера находим:

В силу имеем:

Если решать систему по формулам Крамера, а затем определители, стоящие в числителях, разлагать по элементам столбца свободных членов, то получатся выражения вида

Подставляя эти выражения для   в формулу , будем иметь

или

где

Функция есть резольвента (разрешающее ядро) интегрального уравнения (2). При фиксированных s она представляет собой дробную рациональную функцию комплексной переменной К, и при любом значении К, отличном от характеристического, есть непрерывная функция .

2.8 Нелинейные уравнения

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

Уравнения Урысона

Постоянная M — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

Уравнения Гаммерштейна

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

где   — фредгольмово ядро.

Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна

Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

Нелинейное уравнение Вольтерра

где функция   непрерывна по совокупности своих переменных.

Заключение

В результате выполнения данной курсовой работы выполнено следующее:

1. Рассмотрены некоторые физические задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям.

2. Дан теоретический обзор основных типов интегральных уравнений.

3. Подробно разобраны основные методы решений основных типов интегральных уравнений.

К интегральным уравнениям сводятся многие задачи математические и физические, поэтому данный раздел математики имеет достаточно большое прикладное и практическое значение. При решении интегральных уравнений часто возникают определенные технические трудности. Многие интегральные уравнения не имеют аналитического решения, поэтому для решения таких уравнений можно использовать различные численные методы.

Список литературы:

1. М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко: Интегральные уравнения; Издательство Наука, Москва 1968.

2. Б.А. Зон: Лекции по интегральным уравнениям; Москва «Высшая школа» 2004.

3. Антоневич А.Б, Радыно Я.В Функциональный анализ и интегральные уравнения. Мн., 1984

4. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений. М., 1981