Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия равна сумме средней групповых дисперсий непересекающихся групп, на которые разбита совокупность и межгрупповой дисперсией.

.

Пример: Вычислить общую дисперсию предприятия по заработной плате.

.

Упрощенный способ вычисления средней арифметической и дисперсии:

;

;

где k,c- произвольные постоянные, в качестве c принимается вариант, который или имеет наибольший вес или занимает среднее положение в данном ряде.

В качестве k- берется наибольший общий делитель разностей (x_i-c). Для непрерывного распределения с одинаковыми интервальными разностями величина k и служит как интервальная разность.

Пример:

Вычислить среднюю арифметическую дисперсии и среднеквадратическое отклонение по росту взрослых рабочих предприятия.

Рост(м)	xi	ni	xi-165,5		ni
143-146 146-149 149-152 152-155 155-158 158-161 161-164 164-167 167-170 170-173 173-176 176-179 179-182 182-185 185-188	144,5 147,5 150,5 153,5 156,5 159,5 162,5 165,5 168,5 171,5 174,5 177,5 180,5 183,5 186,5	1 2 8 26 65 120 181 201 170 120 64 28 10 3 1	-21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21	-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7	-7 -12 -40 -104 -195 -240 -181 0 170 240 192 112 50 18 10	49 72 200 416 585 480 181 0 170 480 576 448 250 108 49
Итого:

;

Точечные оценки неизвестных параметров распределения

Допустим, что из теоретических соображений , удалось установить какое именно распределение имеет случайная величина. Пусть закон распределения x содержит неизвестный параметр , требуется приближенно оценить этот параметр. Пусть для получения значения величины проведено x-независимых испытаний, так, что их результаты x₁,x₂,…x_n образуют случайную выборку. Полученные результаты будем рассматривать как n-независимых случайных величин, оценкой параметра называется функция f(x₁,x₂,…x_n) от случайной выборки, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра. Функция f(x₁,x₂,…x_n) является случайной величиной.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Состоятельность и несмещенность оценок

Для того чтобы статистические оценки давали хорошие приближения , оцениваемых параметров они должны удовлетворять определенным требованиям. Пусть -есть статистическая оценка параметра теоретического распределения. Допустим, что в серии n-испытаний по выборке объема n найдена оценка в другой серии . Эти числа будут различными между собой, оценку мы можем рассматривать как случайную величину , а все данные числа , как ее возможные значения. Если оценка дает приближенное значение параметра с избытком, тогда каждое найденное  , - истинное, теоретическое значение параметра.

В этом случае  , если дает оценку с недостатком, то  . Используя оценки, для которых математическое ожидание не равно истинному значению мы приведем к систематическим ошибкам, причем одного знака, поэтому требуют, чтобы математическое ожидание было равно .

= (1)

Оценка называется несмещенной, если ее равно теоретическому оцениваемому значению , т.е. выполняется равенство (1) .

Оценка называется асимптотически несмещенной , если

;

Несмещенность оценки означает, что если мы будем получать ожидаемые значения на различных ожиданиях выборки, то центр тяжести этих значений будет практически совпадать с теоретическим значением , что свидетельствует об отсутствии систематической шибки при оценивании. Асимптотическая несмещенность означает исчезновение асимптотической ошибки при n . Т.е. оценка несмещенная на выборках достаточно большого объема. Возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия может быть значительной. Оценка называется эффективной , если она имеет наименьшую среднеквадратическую ошибку среди всех других возможных оценок данной характеристики .Т.е., если оценка несмещенная , то эффективность означает минимум ее дисперсии.

Эффективная оценка- наиболее точная оценка из всех возможных .

При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности. Оценка называется состоятельной , если она сходится по вероятности к оцениваемому теоретическому значению .

Для любого 0 , выполняется равенство

;

Состоятельность означает , что при неограниченном увеличении объема выборки наблюдаемые значения статистики практически достоверно попадает в - окрестность оцениваемого значения .

;

Т.е. событие достоверно. Если дисперсия оценки

;

-это является необходимым условием состоятельности.

Хорошая оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной.