§5. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье. Условие Дирихле.

Всюду ниже рассматриваются 2π периодические функции и ряды Фурье по тригонометрической системе.

Тот факт, что функция имеет данный ряд Фурье записывают так:

(1).

Основными вопросами являются:

1. Сходится ли ряд Фурье в точке, на промежутке?

2. Если да, то чему равна его сумма?

Если ряд Фурье функции сходится в каждой точке , то говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на .

Отметим.

(.) функции называется (.) разрыва 1-ого рода, если и конечные односторонние пределы функции в (.) :

x₀

0

x

y

предел слева

предел справа

Точка разрыва первого рода называется правильно точкой разрыва, если:

.

Функция называется кусочно-монотонной на , если его можно разбить на конечное число отрезков внутри каждого из которых функция только возрастает, или только убывает, или постоянна.

a

b

x

y

Функция называется кусочно-гладкой на , если его можно разбить на конечное число отрезков внутри каждого из которых функции имеют непрерывную производную.

c

b

a

x

y

b

a

x

y

Будем говорить, что функция на удовлетворяет условиям Дирихле, если:

1. Она непрерывна на всюду, кроме конечного числа точек разрыва 1-ого рода.

2. Или она кусочно-гладкая, или кусочно-монотонная на этом отрезке.

(В 1829г. Дирихле дал первое строгое доказательство того, что ряд Фурье действительно сходится к порождающей его функции )

Th. (Дирихле) Если имеет период и - непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода и можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них, монотонна, то ряд Фурье функции сходится при всех значениях , причём в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точке разрыва функции его сумма равна полусумме предельных значений слева и справа.

на концах

Кроме того, ряд Фурье сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции .

Замечание. Не для всякой функции можно построить ряд Фурье. Нельзя написать ряд Фурье функции для которой не ∃ в формуле для .

В формуле (1) вместо знака (~) соответствия можно поставить знак (=), когда удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

§6. Ряд Фурье чётных и нечётных функций с .

Пусть периодическая функция, всюду ниже будем рассматривать её на .

Следует отметить, что условия Дирихле являются достаточными для сходимости ряда Фурье, и все же не являются необходимыми.

Риманом было установлено, что сходимость ряда Фурье в данной точке зависит от поведения функции лишь в непосредственном соседстве с этой точкой. Минимум ограничений, необходимый для сходимости ряда Фурье ещё не известен.

Как известно её коэффициенты Фурье есть:

1. 

2. 

а ряд Фурье:

3. 

Если дополнительно функция является чётной или нечётной на , то её коэффициенты и ряд Фурье можно записать в более простом виде, чем (1), (2) и (3).

Справедливы следующие утверждения:

Лемма. Если чётная, то , если нечётная, то .

Доказательство.

1. Пусть чётная.

f(x)

S₂

S₁

0

x

y

2. Пусть функция нечётная.

a

-a

0

x

y

Периодическая функция периода 2π называется чётной, если для каждого : . Из этого определения вытекает, что график любой чётной функции симметричен относительно оси ординат.

f(x)

0

x

Тогда

Th1. Если чётная, то её ряд Фурье содержит только косинусы и синусы и постоянную составляющую.

Доказательство:

Т.к. чётные функции. То чётная и, следовательно по Лемме , т.к. нечётная функция, то по Лемме:

В этом случае получается ряд Фурье, содержащий только постоянную величину и члены с косинусами (разложение по косинусам), т.е.:

y

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию

π

-π

0

x

Функция чётная и удовлетворяет условию Дирихле, следовательно:

Th2. Если нечётная, то её ряд Фурье содержит только синусы.

Доказательство:

Дано: тогда функция нечётная,

чётная и, следовательно, по Лемме:

В этом случае её ряд Фурье содержит только члены с синусами.

Пример 2. Разложить функцию в ряд Фурье,

π

-π

0

x

y

Т.к. нечётная, то:

.

Замечание. Как следует из (5) и (8) в случае, когда то и на этом промежутке имеем:

и .

Эти два разложения фукции на по не случайны. Оказывается, если функция задана на полупериоде, то её можно разложить, как в ряд по , так и в ряд по .

А именно. Пусть функуия задана на .

𝜑(x)

y

а.)

f(x)

π

-π

0

x

Продолжим её на чётным образом обозначим её продолжение через . Тогда для

Для будем иметь:

.

y

б.) Продолжим на нечётным образом и обозначим её продолжение через .

𝜑(x)

f(x)

0

-π

π

x

Тогда:

Для .

Т.о., доказано, что функция заданная на может быть разложена как в чётный, так и в нечётный ряд Фурье. Любое разложение функции в ряд Фурье означает разложение её на составляющие гармоники.