3. Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Закон Архимеда

Нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к определению трех составляющих сум­марной силы и трех моментов. Чаще всего рассматривают цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симмет­рии. Сила давления жидкости в этом случае сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

Возьмем цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендику­лярной к плоскости чертежа (рис. 2.7), и определим силу давления жидкости на эту поверхность в двух случаях: 1) жидкость расположена сверху (рис. 2.7, а); 2) жидкость расположена снизу (рис. 2.7, б).

В первом случае выделим объем жидкости, ограниченный рассматри­ваемой поверхностью АВ, вертикальными поверхностями, проведенными че­рез границы этого участка, и свободной поверхностью жидкости, т.е. объем АВСD, и рассмотрим условия его равновесия в вертикальном и горизонталь­ном направлениях. Если жидкость действует на стенку АВ с силой F, то стенка АВ действует на жидкость с силой F, направленной в обратную сто­рону. На рис. 2.7 показана эта сила реакции, разложенная на две составляю­щие: горизонтальную F_г и вертикальную F^

Q) Гд Г О/

Рисунок 2.7 Схема для определения силы давления жидкости на цилиндрическую поверхность

Условие равновесия объема A^D в вертикальном направлении имеет

(2.20)

вид

Fв - PоSг + G,

где ро - давление на свободной поверхности жидкости;

Sr- - площадь горизонтальной проекции поверхности АВ;

G - вес выделенного объема жидкости.

Условие равновесия того же объема в горизонтальном направлении за­пишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ЕС и AD взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь ВЕ, т.е. на вертикальную проекцию поверхности АВ - S^ Тогда

(2.21)

Fг = Sвpghс + PoSв

Определив по формулам (2.20) и (2.21) вертикальную и горизонталь­ную составляющие полной силы давления F, найдем

Когда жидкость расположена снизу (см. рис. 2.7), гидростатическое давление во всех точках поверхности АВ имеет те же значения, что и в пер­вом случае, но направление его будет противоположным, и суммарные силы F_в и Fr- определятся теми же формулами (2.20) и (2.21), но с обратными зна­ком. При этом под величиной G следует понимать так же, как и в первом

случае, вес жидкости в объеме АВСD, хотя этот объем и не заполнен жидко­стью.

Положение центра тяжести давления на цилиндрической стенке можно легко найти, если известны силы F_в и Fj. и определены центр давления на вер­тикальной проекции стенки и центр тяжести выделенного объема АВСD. За­дача значительно облегчается в том случае, когда рассматриваемая цилин­дрическая поверхность является круговой. Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности, так как любая элементарная сила давления нор­мальна к поверхности, т.е. направлена по радиусу.

Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к сферическим поверхностям, причем равнодей­ствующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и ле­жит в вертикальной плоскости симметрии.

Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда.

Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом V (рис. 2.8).

А' В^г

Рисунок 2.8 Схема для доказательства закона Архимеда Спроектируем его (тело) на свободную поверхность жидкости и прове­дем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается по-

16

верхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть по­верхности тела АСВ от нижней ее части ADB. Вертикальная составляющая F^ силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности те­ла направлена вниз и равна весу жидкости в объеме АА'В'ВСА. Вертикаль­ная составляющая F^ силы давления жидкости на нижнюю часть поверхно­сти тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме AA'В'ВDA. От­сюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме, равном раз­ности указанных двух объемов, т.е.

^FA = ^"в2 ^- ^1 = ^GACBD = ^Vpg.

В этом и заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости, вы­тесненной телом, и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тела.

Сила FA называется архимедовой силой, или силой поддерживания, а

точка ее приложения, т.е. центр тяжести объема V, - центром водоизмеще­ния.

В зависимости от соотношения веса G тела и архимедовой силы FA возможны три случая: 1) G > F_A - тело тонет; 2) G < F_A - тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погруженном состоянии; 3) G = F_a - тело плавает в полностью погруженном состоянии.

Для обеспечения равновесия тела, погруженного в жидкость, недоста­точно равенства р_ж = р_т. Если погруженное в жидкость тело однородно, то центр тяжести совпадает с точкой приложения выталкивающей силы Р (рис. 2.9, в). Для неоднородных тел эти точки не совпадают.

3. 

   Рисунок 2.9 Действие сил на погруженные в жидкость тела Для равновесия неоднородных тел, погруженных в жидкость, необхо­димо, чтобы при выведении из вертикального положения сила тяжести G и выталкивающая сила Р образовали пару, стремящуюся повернуть тело в устойчивое положение (рис. 2.14, а), при котором точки приложения обеих сил лежат на вертикальной прямой, причем центр тяжести расположен ниже точки приложения выталкивающей силы. Если центр тяжести тела располо­жен выше точки приложения выталкивающей силы (рис. 2.14, б), то положе­ние погруженного в жидкость тела неустойчивое, так как при отклонении его от вертикального положения силы G и Р образуют пару, стремящуюся пере­вернуть это тело.

   а) б) б)

   Эпюры давления жидкостей и газов Эпюра давления жидкости — это графическое изображение распре­деления давления жидкости по твёрдой поверхности, соприкасающейся с ней. Примеры эпюр для плоских и криволинейных поверхностей приведены на рис. 2.10 и 2.11. Стрелками на эпюре показывают направление действия давления (вернее, направление нормальных напряжений, возникающих от действия давления, так как по 2-му свойству давление скалярно). Величина стрелки (ордината) откладывается в масштабе и количественно показывает величину давления.

Рис. 4. Эпюра давления жидкости на криволинейную поверхность

Рис. 3. Эпюры давления жидкости на плоские поверхности

h

Эпюры давления служат исходными данными для проведения расчётов на прочность и устойчивость конструкций, взаимодействующих с жидко­стями: стенок плавательных бассейнов, баков, резервуаров, цистерн. Расчёты ведутся методами сопротивления материалов и строительной механики.

В большинстве случаев строят эпюры избыточного давления вместо полного, а атмосферное не учитывают из-за его взаимного погашения с той и другой стороны ограждающей конструкции. При построении таких эпюр для плоских и криволинейных поверхностей (см. рис. 2.10 и 2.14) используют линейную зависимость давления от глубины р_изб = gh и 1-е свойство гидро­статического давления.

Эпюры давления газа. Для расчёта на прочность замкнутых кон­струкций, ограждающих газ (трубопроводов, баллонов, резервуаров, газголь­деров и т.д.), на их поверхностях строят эпюры давления:

— избыточного Рман = Рст - Ратм (рис. 2.12,а);

вакуумметрического р_в = Ратм - Рст (рис. 2.12,б).

Эти давления являются результирующими, то есть фактически дей­ствующими на конструкцию. Эпюры давления на рис. 23 построены с прене-

19

брежением изменения давления по высоте резервуара, поэтому на верти­кальных стенках они прямоугольные, а не треугольные как для жидкости (см. рис. 3). Такой приём допускается для газа при небольших высотах из-за ма­лости его удельного веса. Эпюры давления служат исходными данными для расчёта конструкций на прочность методами сопромата.

Р

L /

а)

резервуара: а - p > p ; б - p < p

¹ i^i j_ _rir) ± _rtm,, ± _Г1Г) ± .

ст * атм ^х ст * атм

(РЭ

б)

у* атмJ

1 ат = 1 кгс/см² = 10⁴ мм вод.ст. = 9,81-10⁴ Н/м² (Па) = 735 мм рт.ст.