Аппроксимация

Создаем файл G.sci

function [zr]=G(c, z)

zr=z(2)-c(1)-c(2)*z(1)

endfunction

Вызовем :

x=[0.10 0.115 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21]

y=[1.263 1.302 1.323 1.362 1.406 1.448 1.512]

z=[x;y]

disp(z)

c=[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]

[a err]=datafit(G,z,c)

disp(err,'S=')

disp(a,'a=')

x1=0.10:0.001:0.22

y1=a(1)+a(2)*x1

plot(x1,y1,x,y,'.')

xgrid()

Получаем:

S=

0.0004074

a=

1.0444936

2.1638916

Таким образом, полином имеет вид:

Теперь создадим аппромаксикацию для полинома 3 степени.

function [zr]=G_3(c, z)

zr=z(2)-c(1)-c(2)*z(1)-c(3)*z(1)^2-c(4)*z(1)^3

endfunction

x=[0.10 0.115 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21]

y=[1.263 1.302 1.323 1.362 1.406 1.448 1.512]

z=[x;y]

disp(z)

c=[0; 0; 0; 0]

[a,err]=datafit(G_3,z,c)

disp(err,'S=')

disp(a,'a=')

x1=0.10:0.001:0.21;

y1=a(1)+a(2)*x1+a(3)*x1.^2+a(4)*x1.^3;

plot(x1,y1,x,y,'.');

xgrid()

Получаем:

S=

0.0000533

a=

0.7644833

8.7768218

- 49.52104

117.46607

Таким образом, полином имеет вид:

Теперь создадим аппромаксикацию для полинома 5 степени.

function [zr]=G_5(c, z)

zr=z(2)-c(1)-c(2)*z(1)-c(3)*z(1)^2-c(4)*z(1)^3-c(5)*z(1)^4-c(6)*z(1)^5

endfunction

x=[0.10 0.115 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21]

y=[1.263 1.302 1.323 1.362 1.406 1.448 1.512]

z=[x;y]

disp(z)

c=[0; 0; 0; 0; 0; 0]

[a,err]=datafit(G_5,z,c)

disp(err,'S=')

disp(a,'a=')

x1=0.10:0.001:0.21;

y1=a(1)+a(2)*x1+a(3)*x1.^2+a(4)*x1.^3+a(5)*x1.^4+a(6)*x1.^5;

plot(x1,y1,x,y,'.');

xgrid()

Получаем:

S=

0.0000536

a=

0.7986580

7.8421098

- 40.254519

78.527119

54.064899

21.939954

Таким образом, полином имеет вид:

Контрольные вопросы

1. Что такое интерполяция?

Интерполяция - операция приближения функции, заданной в отдельных точках внутри некоторого заданного промежутка. 

2. Что такое узлы интерполяции?

На отрезке [a, b] заданы  n +1 точек    (i = 0, 1, 2, …, n) , называемые узлами интерполяции

3. В чем заключается задача отыскания интерполирующего многочлена?

Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции.

4. Как построить интерполяционный многочлен Лагранжа?

Интерполяционный полином ,очевидно, можно построить в форме:

5. Как определить погрешность метода интерполяции с помощью формулы Лагранжа?

, где  , - точка из [a, b].

6. Как образуются разделенные разности?

Разделённая ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.

Разделённая разность нулевого порядка функции   — сама функция  . Разделённая разность порядка   определяется через разделённую разность порядка   по формуле

Для разделённой разности также верна формула

Из этой формулы следует, что разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов (то есть при любой их перестановке не меняется), а также то, что при фиксированных   разделённая разность — линейный функциал  от функции  :

Через разделенные разности можно выразить интерполяционный многочлен  в форме многочлена Ньютона:

где  ,  ^[1].

Эта формула позволяет после предварительных вычислений разделенных разностей, требующих   действий (с меньшей, чем в других алгоритмах константой), вычислять многочлен Лагранжа в любой точке за   действий.