§ 9.10. Минимальная сумма зубьев колес эвольвентного зацепления

При конструировании машин стремятся обычно к уменьшению габаритных размеров без нанесения ущерба передаче в отношении прочности звеньев. При расчете зубчатых колес это стремление приводит к необходимости уменьшать сумму чисел зубьев, поскольку расстояние между осями зубчатых колес, определяющее габаритные размеры механизма, пропорционально z₁ + z₂:

Торцовый модуль m_s зацепления определяется передаваемой нагрузкой. Используя полностью отрезок линии зацепления в качестве рабочей части, можно легко найти ту наименьшую сумму чисел зубьев, при которой _s = 1,1 и внедрение (подрезание) про­филей отсутствует.

Из рис. 9.18

Рис. 9.18. К определению минималь­ной суммы зубьев

Так как t_s = m_s ·  , то, под­ставляя значения L₁L₂ и t_s в формулу (9.11), получаем

или при _s = 1,1

. (9.16)

Если _s > 1,1, то для каждой передачи должно удовлетворять­ся неравенство

. (9.17)

Зубчатые колеса, сумма чи­сел зубьев которых удовлетво­ряет неравенству (9.17), будут в общем случае отличаться от нормальных. Формула (9.17) может быть использована для пред­варительных расчетов.

(z₁ + z₂)_min зависит от угла _s зацепления и принимает следую­щие значения:

	150	17030'	200	22030'	250
(z1 + z2)min	23	20	18	16	14

§ 9.11. Минимальное число зубьев малого колеса

При расчете зубчатых колес эвольвентного профиля по заданному передаточному отношению числа зубьев необходимо подбирать так, чтобы при заданных относительных высотах головок зубьев ножки их были свободны от внедрения головок.

Для зубчатых колес с одинаковыми высотами головок зубьев как у малого z₁ так и большого z₂ колеса, налицо опасность подреза­ния ножки малого колеса, потому что .

Определим наименьшее число зубьев z_lmin малого колеса, при котором подрезания ножки его зубьев производить не нужно.

Условие отсутствия подрезания может быть выражено неравен­ством (рис. 9.18)

, (9.18)

т. е. радиус R_e2 окружности головок зубьев колеса 2 должен быть меньше или в крайнем случае равен , благодаря чему предел зацепления L'₁ должен располагаться внутри отрезка .

Из косоугольного треугольника O₂PL₁

здесь - радиус начальной окружности колеса и , где r₁ - радиус начальной окружности малого колеса 1.

Заменяя под радикалом значения r₂ и и имея в виду, что cos (90° - ) = - sin  , получаем

. (a)

В выражение (а) введем передаточное отношение . Знак

минус соответствует внешнему зацеплению, для которого выводится формула.

После подстановки имеем

Разлагая радикал в ряд по биному Ньютона и ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получаем приближенное зна­чение для :

Последующие члены разложения малы по сравнению с едини­цей, так как |i₂₁| < 1 и sin _s < 1, поэтому их без ущерба для точ­ности вычислений можно отбросить.

Возвращаясь к неравенству (9.18), имея в виду, что (относительная высота головки зуба колеса , будем иметь

или, так как z₂ · i₂₁ = - z₁ , получаем

. (9.19)

Для нормального зубчатого зацепления, у которого высота головок зубьев и, следовательно, и угол зацепления _s = 20°, формула (9.19) приобретает вид

. (9.19')

Формулы (9.18) и (9.19) справедливы как для внешнего, так и для внутреннего зацеплений. При определении числа зубьев z₁ малого колеса передаточное отношение i₂₁ положительно, если за­цепление внутреннее, и отрицательно, если зацепление внешнее.

При зацеплении колеса с рейкой, число зубьев которой следует считать равным бесконечности, передаточное отношение i₂₁ = 0. Следовательно, минимальное число зубьев колеса, зацепляющегося с рейкой, как видно из формулы (9.19), будет

. (9.19")

где z₀ - минимальное число зубьев колеса, зацепляющегося с рейкой;

- относительная высота головки зуба рейки; _0s - угол профиля рейки.

На рис. 9.19 приведены графики изменения z_1min в функции i₂₁ для углов зацепления _s = 15° и _s = 20° и относительных высот головок зубьев колеса = 1 и = 0,8.

Рис. 9.19. График зависимости минимального числа зубьев от передаточного от­ношения