Многоканальные смо с отказами.

Рассмотрим задачу построения модели и анализа ВВХ многоканальной СМО с отказами. Пусть на вход СМО, содержащей N обслуживающих приборов, действует простейший поток требований (поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия) с интенсивностью , а обслуживание требований каждым прибором СМО осуществляется с интенсивностью . При занятости всех N приборов вновь пришедшая заявка получает отказ и покидает СМО. Данная задача была рассмотрена Эрлангом и им впервые определены выражения для вероятности отказов (обслуживания) в СМО данного класса.

На рис.1 представлен граф состояний СМО М/М/N.

Как видно из рисунка, СМО может находиться в следующих состояниях:

все приборы свободны, заявок на входе СМО нет;

один прибор занят, обслуживается одна заявка;

n приборов занято, обслуживается n требований;

все N каналов заняты, обслуживается N требований, а вновь пришедшая заявка теряется.

Значения вероятностей отказа - вероятности того, что все N приборов заняты, а также вероятность обслуживания поступающих требований (1-я формула Эрланга):

. (3)

Вероятность отказа в СМО с примитивным потоком заявок (от конечного числа S источников) определяется формулой Энгсета:

Уравнения для математического ожидания и дисперсии числа заявок, находящихся в СМО в момент времени t определяются выражениями:

Многоканальные смо с ожиданием.

Пусть на СМО M/M/N/m с числом обслуживающих приборов N и числом мест для ожидания m поступает поток заявок с интенсивностью , которые обслуживаются каждым прибором с интенсивностью . Пусть также время ожидания в очереди распределено по экспоненциальному закону с параметром (интенсивностью) . Необходимо определить: вероятность обслуживания требований; вероятность ожидания требованием начала обслуживания и среднее время ожидания. Данную задачу впервые поставил и решил Бухман. В данной СМО существуют следующие рабочие состояния: система обслуживает s требований с интенсивностью , если ; система ставит требование в очередь, если число требований больше числа обслуживающих приборов, но меньше числа мест для ожидания , при этом интенсивность поступления требований из очереди равна . Наконец система отказывает требованиям в обслуживании, если .

Граф состояния системы представлен на рис.2.

Под состоянием сети будем понимать значение числа требований, находящихся на обслуживании (в системе распределения ресурса и в очереди) в момент времени t. Обозначим через s=0…S номер состояния СМО (число требований в ней), где S= N+m.

Для случая Z< N и для t=0, m=µ формула Эрланга (2-я формула):

(6)