Задача № 6

Условие.

За период с 1998 по 2006 год по Российской Федерации приводятся сведения и численности экономически активного населения – W_t, млн чел., (материалы выборочного обследования Госкомстата).

Годы	Wt	Годы	Wt
1998	74,9	2003	68,1
2005	72,9	2004	67,3
2006	70,5	2005	71,8
2001	70,9	2006	71,8
2002	69,7

Задание:

1. Постройте график фактических уровней динамического ряда - W_t

2. Рассчитайте параметры параболы второго порядка

3. Оцените полученные результаты:

с помощью показателей тесноты связи ( η и η² );

значимость модели тренда через F -критерий;

качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

4. Выполните прогноз до 2008 года.

5. Проанализируйте полученные результаты.

Решение.

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия. Другим статистическим критерием является коэффициент множественной детерминации R².

yi	Δ1t	Δ2t	Темп роста
74.9	-	-	-
70.9	-4	-	0.95
69.7	-1.2	2.8	0.98
68.1	-1.6	-0.4	0.98
67.3	-0.8	0.8	0.99
72.9	5.6	6.4	1.08
71.8	-1.1	-6.7	0.98
70.5	-1.3	-0.2	0.98
71.8	1.3	2.6	1.02

Уравнение тренда имеет вид y = a₂t² + a₁t + a₀ Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a₀n + a₁∑t + a₂∑t² = ∑y a₀∑t + a₁∑t² + a₂∑t³ = ∑yt a₀∑t² + a₁∑t³ + a₂∑t⁴ = ∑yt²

t	y	t2	y2	t y	t3	t4	t2 y
1	74.9	1	5610.01	74.9	1	1	74.9
2	70.9	4	5026.81	141.8	8	16	283.6
3	69.7	9	4858.09	209.1	27	81	627.3
4	68.1	16	4637.61	272.4	64	256	1089.6
5	67.3	25	4529.29	336.5	125	625	1682.5
6	72.9	36	5314.41	437.4	216	1296	2624.4
7	71.8	49	5155.24	502.6	343	2401	3518.2
8	70.5	64	4970.25	564	512	4096	4512
9	71.8	81	5155.24	646.2	729	6561	5815.8
45	637.9	285	45256.95	3184.9	2025	15333	20228.3

Для наших данных система уравнений имеет вид 9a₀ + 45a₁ + 285a₂ = 637.9 45a₀ + 285a₁ + 2025a₂ = 3184.9 285a₀ + 2025a₁ + 15333a₂ = 20228.3 Получаем a₂ = 0.241, a₁ = -2.484, a₀ = 75.674 Уравнение тренда: y = 0.241t²-2.484t+75.674 Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Ошибка аппроксимации. Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда. Однофакторный дисперсионный анализ. Средние значения Дисперсия Среднеквадратическое отклонение Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2)

t	y	y(t)	(y-ycp)2	(y-y(t))2	(y-y(t)) : y
1	74.9	73.43	16.18	2.16	0.0196
2	70.9	71.67	0.000494	0.59	0.0109
3	69.7	70.39	1.39	0.48	0.00989
4	68.1	69.59	7.72	2.22	0.0219
5	67.3	69.27	12.8	3.89	0.0293
6	72.9	69.44	4.09	11.99	0.0475
7	71.8	70.08	0.85	2.95	0.0239
8	70.5	71.21	0.14	0.5	0.0101
9	71.8	72.82	0.85	1.04	0.0142
		637.9	44.02	25.82	0.19

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда. 1) t-статистика. Критерий Стьюдента. Статистическая значимость коэффициента b не подтверждается Статистическая значимость коэффициента a не подтверждается Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда. Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими: (b - t_набл S_b; b + t_набл S_b) (0.241 - 2.447•0.27; 0.241 + 2.447•0.27) (-0.41;0.9) Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима. (a - t_набл S_a; a + t_набл S_a) (-2.484 - 2.447•1.51; -2.484 + 2.447•1.51) (-6.17;1.2) 2) F-статистика. Критерий Фишера. Находим из таблицы Fkp(1;6;0.05) = 5.99 где m - количество факторов в уравнении тренда (m=2). Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим Коэффициент автокорреляции. Если коэффициент автокорреляции r_ei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует. Для определения степени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки. Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле: Коэффициенты автокорреляции случайных данных должны обладать выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным Если коэффициент автокорреляции первого порядка r₁ находится в интервале: -2.447 • 0.333 < r₁ < 2.447 • 0.333 то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка. Используя расчетную таблицу, получаем: Так как -0.816 < r₁ = 0.0769 < 0.816, то свойство независимости остатков выполняется. Автокорреляции отсутствует.