Рівняння збереження субстанції

Для визначення зміни будь-якої величини використовують два заходи: абсолютна зміна – як різниця двох значень за деякий проміжок часу й відносна зміна, віднесене до одиниці часу. Якщо в якості змінюваної величини брати субстанцію і її щільність, у загальному випадку диференцуємі, що залежать від часу й координат, то поле руху (зміни) субстанції повинне описуватися швидкостями й прискореннями зміни її стану в просторі, зайнятому субстанцією.

Є два методи опису руху контрольного елементарного обсягу в просторі. Це відомі методи Лагранжа й Эйлера. Основна відмінність між цими двома методами полягає в тому, що функціями часу є: у першому – координати контрольного обсягу (крапки), а в іншому – швидкості їх руху.

Для єдиної теорії, що розглядає локальні зміни в сингулярних крапках просторових траєкторій руху субстанції, кращим є метод Эйлера, за допомогою якого спостерігач відзначає характеристики руху (зміни) субстанції в околиці фіксованої крапки простору. Опис повного поля руху субстанції цим методом, по суті, полягає у встановленню миттєвих картин розподілу швидкостей і прискорень – основних характеристик розглянутого середовища.

Використовуючи метод Эйлера необхідно виразити зміну щільності субстанції в околиці деякої крапки через частки похідні по чотирьом незалежним змінним: x, y, z, t, одержати абсолютну зміну щільності субстанції у вигляді:

(12)

Відносна зміна щільності субстанції буде визначатися субстанціональної похідної

(13)

Компоненти переміщень не є незалежними й рівні: де где

Підставляючи ці величини у вищенаведене вираження, одержуємо

(14)

Інакше:

(15)

Це – повна або субстанціональна похідна, що представляє собою швидкість зміни щільності субстанції в околиці певної крапки простору в певний момент часу.

Використовуємо відомі перетворення: div = div qrad qrad div div .

При div рівняння (15) має вид:

(16)

Розв'язку багатьох практичних завдань зводяться до умови, коли певне кількість субстанції залишається постійною величиною під час її руху. Це означає, що контрольований обсяг повністю ізольований і дана субстанція не взаємодіє із субстанцією навколишнього середовища або кількість вхідної й вихідної субстанції однаково.

Для зазначених умов кінетичні рівняння переносу субстанції (15) і (16) ухвалюють вид:

(17)

(18)

Рівняння (17) і (18) називаються рівняннями збереження субстанції, інакше, рівняннями сплошності й нерозривності потоку субстанції як матеріальної, так і нематеріальної. Якщо щільність субстанції не залежить від часу ( для стаціонарних процесів), то рівняння збереження субстанції будуть:

або (19)

У рівняннях збереження субстанції (17) і (18) слід виділити локальну складову залежну від часу, і конвективну - - div

Рівняння руху субстанції

Для одержання рівнянь руху (зміни) будь-якої субстанції використовуємо метод фіксованої крапки простору. Застосовуючи його ми описуємо характеристики потоку субстанції в нерухливій крапці, спостерігаючи рух нескінченно малого обсягу субстанції. Швидкості зміни розглянутих функцій f(x,y,z,t) визначаються субстанціональної похідній. Тому що всі зміни можуть відбуватися тільки при наявності інерційного впливу субстанції, що рухається, приймемо його кількісним заходом, за аналогією з інертною масою, інертну субстанцію у припущенні, що відомий еквівалент між її величиною й масою, що забезпечує вплив.

У якості вихідного, запишемо рівняння субстанціональної похідної для імпульсу інертної субстанції і її щільності.

Для субстанції:

(20)

Для щільності субстанції:

(21)

Для одержання диференціального рівняння руху (зміни) будь-якої субстанції необхідно підставити в загальне рівняння інерційного впливу величину даної субстанції або її щільності.

Розглянемо, як приклад, окремий випадок переносу імпульсу в механіку, для якого щільність. Підставимо дану величину в рівняння (21):

g+ (22)

де g – щільність масових сил, у якості яких розглядаються тільки сили ваги; g – сила ваги, що доводиться на одиницю маси, визначається її прискоренням: - тензор напруги поверхневих сил.

Рівняння (22), придатне для всіх суцільних середовищ, може бути записане у вигляді:

(23)

де вектори поверхневих сил, прикладені до майданчиків, нормальних до осей координат: x, y, z.

Суми щільності масових і поверхневих сил, що діють на елементарну частку, можна виразити в проекціях на осі координат x,y,z у такий спосіб:

(24)

Рівняння (24) можна записати в проекціях у вигляді:

(25)

Помноживши ці значення на обсяг елементарної частки , одержимо вираження другого закону Ньютона для напрямків осей координат:

(26)

Рівняння (24) – (26) є фундаментальними механіки суцільних середовищ.

Якщо в обсязі, що рухається, величина імпульсу субстанції: залишається постійної, то це означає, що обсяг повністю ізольований і кількість вхідної й вихідної субстанції буде однаково. Рівняння (20), (21) переносу (зміни) імпульсу субстанції в цьому випадку будуть називатися рівняннями збереження імпульсу субстанції.

Для субстанції:

(27)

Для щільності субстанції:

(28)

Рівняння збереження імпульсу субстанції являє собою баланс впливів: активного інерційного впливу потоку субстанції на середовище й опору середовища переходу в інший стан, який характеризується швидкостями зміни потоку по напрямках руху. Рівняння (27), (28) виражають закон збереження, що є загальним для всієї фізики. Баланс інерційного впливу й опору йому виражає фізичну сутність процесу існування всього живого й неживого в природі.

Для стаціонарних процесів, що встановилися, коли величина імпульсу субстанції не залежить від часу, рівняння збереження (27) буде

(29)