4. Произведение и обозначается и определяется формулой
(3.37)
Таким образом,
любое нечеткое множество 
,
где 
—
положительное число, следует понимать
так:
(3.38)
Аналогично, если
—
любое неотрицательное число, такое,
что 
,
то
(3.39)
Частными случаями операции возведения в степень [см. (3.35)] являются операция концентрирования, определяемая следующим образом
(3.40)
и операция растяжения
(3.41)
Как будет показано в §6, операции концентрирования и растяжения полезны в представлении лингвистических неопределенностей.
Пример 3.8. Если
(3.42)
(3.43)
5. Если 
—
нечеткие подмножества универсального множества 
,
а 
—
неотрицательные весовые коэффициенты,
сумма которых равна 1, то выпуклой
комбинацией нечетких
множеств
называется нечеткое множество
с
функцией принадлежности вида
(3.44)
где знак + означает арифметическое суммирование. Понятие выпуклой комбинации полезно в представлении таких лингвистических неопределенностей, как существенно, типично и т. п. [27].
6.
Пусть
— нечеткие подмножества универсальных множеств 
соответственно.
Декартово произведение этих подмножеств
обозначается 
и
определяется как нечеткое подмножество множества 
с
функцией принадлежности
.
(3.45)
Таким образом [см. (3.52)],
(3.46)
Пример 3.9. Если 
, 
и 
,
то
(3.47)
7. Оператор увеличения
нечеткости используется
обычно для преобразования обычного (не
нечеткого) множества в нечеткое или для
увеличения нечеткости нечеткого множества.
Так, результатом действия оператора
увеличения нечеткости 
на
нечеткое подмножество
множества
является
нечеткое подмножество 
вида
(3.48)
где нечеткое множество 
является
ядром оператора
,
т. е. результатом действия оператора
на
одноточечное множество 
:
(3.49)
—
произведение (в смысле определения
(3.39)) числа 
и нечеткого множества
,
a 
—
знак объединения семейства нечетких множеств
, 
.
В сущности, выражение (3.48) аналогично
интегральному представлению линейного
оператора, в котором
играет
роль импульсной переходной функции.
Пример 3.10. Пусть , и определены следующий образом:
(3.50)
Тогда
(3.51)
Операция увеличения
нечеткости играет важную роль в
определении таких лингвистических
неопределенностей, как более
или менее, слегка, несколько (в
какой-то степени), много и
т. д. Например, если класс положительных
чисел обозначить символом: 
положительный,
тогда словосочетание слегка
положительный является
названием
нечеткого подмножества множества действительных чисел,
функция принадлежности которого имеет
вид, показанный на рис. 3.1. В этом случае
нечеткое понятие слегка есть
оператор увеличения нечеткости, который
преобразует нечеткое множество положительный в
нечеткое множество слегка
положительный. Однако
не всегда возможно выразить результат
действия оператора увеличения нечеткости
в форме (3.48), причем операторслегка как
раз и представляет такой случай. Более
подробное обсуждение этого и других
вопросов, связанных с этим оператором,
можно найти в [27].
Рис. 3.1. Функции принадлежности значений положительный и слегка положительный