5.1 Расчёт характеристик случайных величин до первого отказа

Сначала проводим расчёты наработок до первого отказа. Далее необходимо произвести точечные оценки случайных величин.

Среднее значение случайных величин определяем по формуле (1):

(5.1)

Размах случайных величин определяем по формуле (2):

(5.2)

Дисперсию рассчитаем по формуле (3):

(5.3)

Среднеквадратическое отклонение  найдём как квадратный корень значения дисперсии по формуле (4):

(5.4)

Коэффициент вариации v считаем по формуле (5):

(5.5)

Точечные оценки позволяют нам предварительно судить о качестве изделий и технологических процессов. Чем ниже средний ресурс и выше вариация (, v, z), тем ниже качество конструкции и изготовления (или ремонта) изделия. Чем выше коэффициент вариации показателей технологических процессов ТЭА (трудоемкость, простои в ТО или ремонте, загрузка постов и исполнителей и др.), тем менее совершенны применяемые организация и технология ТО и ремонта.

Далее рассчитываем вероятностные оценки случайных величин. При выполнении расчётов для составления сводной таблицы необходимо разбить размах случайных величин на 5 равных по длине интервалов (таблица 5.3). Далее проведём группировку, т.е. определим число случайных величин, попавших в первый (n₁), второй (n₂) и остальные интервалы. Это число называется частотой. Разделив каждую частоту на общее число случайных величин (n₁ + n₂ +... + n_п=n), определим частотность, которая рассчитывается по формуле (6):

(5.6)

Частотность является эмпирической оценкой вероятности Р, т.е. при увеличении числа наблюдений частотность приближается к вероятности: w_i→p_i.

Полученные при группировке случайных величин результаты сводятся в таблицу 5.3, данные которой имеют не только теоретическое, но и практическое значение, т.е. имея систематизированные данные по отказам, можно прогнозировать и планировать число воздействий (программу работ), потребности в рабочей силе, площадях, материалах и запасных частях.

F(L) называют интегральной функцией распределения, f(L) – дифференциальной функцией распределения.

Имея значения F(x) или f(x), можно произвести оценку надежности и определить среднюю наработку до отказа:

. (5.7)

При оценке качества изделий, нормировании ресурсов, в системе гарантийного обслуживания применяют гамма – процентный ресурс х_у. Это интегральное значение ресурса х_у, которое вырабатывает без отказа не менее г процентов всех оцениваемых изделий, т.е:

(5.8)

В ТЭА обычно принимаются γ = 80, 85, 90 и 95%. Примем γ = 80%. Гамма – процентный ресурс используется при определении периодичности ТО по заданному уровню безотказности. Выражение L_TO = L_γ означает, что обслуживание с периодичностью L_TO гарантирует вероятность безотказной работы R ≥ γ и отказа F ≤ (1 – γ).

Для первых отказов невосстанавливаемых изделий и взаимно дополняющих событий (отказ – работоспособное состояние) имеет место условие F(L) + R(L) = 1, т.е., зная вероятность отказа, можно определить вероятность безотказной работы и наоборот.

Важным показателем надежности является интенсивность отказов  (L) – условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого изделия, определяемая для данного момента времени при условии, что отказа до этого момента не было. Аналитически для получения (L) необходимо элементарную вероятность dm/dL отнести к числу элементов, не отказавших к моменту L, т.е.

(5.9)

Так как вероятность безотказной работы R(L) = [n – m(L)]/n,то:

. (5.10)

Учитывая, что f(L)=(1/n)(dm/dL), получаем:

, (5.11)

Далее производим расчёт вероятности случайного события. В общем виде, вероятность случайного события – это отношение числа случаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу случаев.

Вероятность отказа рассматривается за определенную наработку L:

где m(L) – число отказов за L(тыс.км); n – число наблюдений (изделий).

Вероятность отказа изделия при наработке L равна вероятности событий, при которых наработка до отказа конкретных изделий L_i окажется менее L.

Отказ и безотказность являются противоположными событиями, поэтому:

, (5.13)

где – число изделий, не отказавших за L.

Следующей характеристикой случайной величины является плотность вероятности (например, вероятности отказа) f(L) – функция, характеризующая вероятность отказа за малую единицу времени при работе узла, агрегата, детали без замены. Если вероятность отказа за наработку равна , то, дифференцируя ее при , получим плотность вероятности отказа

(5.14)

где – элементарная "скорость", с которой в любой момент времени происходит приращение числа отказов при работе детали, агрегата без замены.

Результаты проведённых расчётов заносим в таблицу 5.3

Таблица 5.3 – Результаты расчётов

Определяемая величина		Номер интервала отказа
		1	2	3	4	5
Границы интервала наработки (первый отказ), тыс. км.	ΔL	9-12,3	12,3-15,6	15,6-18,9	18,9-22,2	22,2-25,5
Значение середины интервала, тыс. км	Li	10,65	13,95	17,25	20,55	23,85
Число отказов в интервале	ni	29	19	16	15	21
Число отказов к моменту наработки Li	m(L)	29	48	64	79	100
Число работоспособных объектов к моменту наработки xi	n - m(L)	71	52	36	21	0
Частость (вероятность)	wi = ni / n	0,29	0,19	0,16	0,15	0,21
Оценка накопленных вероятностей отказа	F1(L) = m(L)/n	0,29	0,48	0,64	0,79	1
Оценка накопленных вероятностей безотказности	R1(L) = n-m(L)/n	0,71	0,52	0,36	0,21	0
Плотность вероятности отказа	f1(L)= ni /ΔL/ n	0,088	0,058	0,048	0,045	0,064
Плотность вероятности возникновения отказа	λ(L)=f1(L)/R1(L)	0,124	0,111	0,135	0,216	-

Среднее значение случайной величины, рассчитанное по формуле (5.1) равно:

тыс.км.

Размах случайной величины, рассчитанный по формуле (5.2), равен:

z = 22,5 – 9 = 16,5 (тыс.км).

Количество интервалов случайных величин принимаем равнымn = 5.

Шаг интервала принимаем равным:

S = = 3,3 (тыс.км).

Дисперсия, рассчитанная по формуле (5.3), равна:

D= 25,432.

Среднеквадратическое отклонение случайной величины, рассчитанное по формуле (5.4), равно:

.

Коэффициент вариации, рассчитанный по формуле (5.5), равен:

Полигон распределения, построенный по данным таблицы 5.3, изображён на рисунке 5.4.

Рисунок 5.1 – Графическое изображение случайной величины

Наглядное представление о случайных величинах дает их графическое изображение интегральных функции распределения вероятностей отказа и безотказной работы (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Графическое изображение случайной величины

Наглядное представление о вариации случайной величины дает графическое изображение дифференциальной функции или закона распределения случайной величины (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Дифференциальная функция распределения

Наглядное представление о величине изменения интенсивности отказов (L) реализуется в виде графика (рисунок 5.4).

Рисунок 5.4 – Изменение интенсивности отказов